Section 2.2 – Rapports trigonométriques dans les triangles quelconques

Depuis la deuxième année du secondaire, la majorité des calculs de géométrie associés aux triangles se font dans les triangles rectangles ou à l'aide de triangles rectangles. Dans cette section, nous couvrirons trois différentes techniques pour découvrir des mesures manquantes dans les triangles qui n'ont pas nécessairement un angle droit.

2.2.1 – Formule de Héron

Comme vous le savez depuis plusieurs années, la manière la plus efficace de calculer l'aire d'un triangle est d'appliquer la formule $A = \frac{b \cdot h}{2}$. Malheureusement, cette formule ne fonctionne pas toujours puisqu'elle exige que la base et la hauteur soient perpendiculaires l'une à l'autre, il faut donc un angle droit. Pour remédier à ce problème, il existe une formule (un peu plus complexe) qui permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque, c'est la formule de Héron (un mathématicien et ingénieur grec du 1er siècle après J.-C.).

Voici la formule en question :

$\text{Aire} = \sqrt{\text{dp} \cdot (\text{dp} - a) \cdot (\text{dp} - b) \cdot (\text{dp} - c)}$

où dp représente le demi-périmètre du triangle.

Regardons l'exemple suivant pour mieux comprendre son utilisation :

Considérons le triangle suivant :

Quelle est l'aire du triangle?

1. On doit d'abord identifier les côtés de a à c pour mieux structurer notre démarche.

2. On peut ensuite calculer le périmètre (pour pouvoir obtenir sa demie) et placer nos données dans la formule vide.

Périmètre $= 23 + 19 + 24 = 66$

Demi-périmètre $= 33$

$\text{Aire} = \sqrt{33 \cdot (33 - 23) \cdot (33 - 19) \cdot (33 - 24)} \qquad \text{Aire} = \sqrt{33 \cdot 10 \cdot 14 \cdot 9} \qquad \text{Aire} = \sqrt{41580}$

$\text{Aire} = 203{,}91 \text{ cm}^2$

L'aire du triangle est donc de $203{,}91 \text{ cm}^2$.

2.2.2 – Loi des sinus

Comme nous l'avons vu dans la section précédente, le sinus d'un angle reflète la mesure de cet angle. Essentiellement, plus un angle est grand, plus la valeur de son sinus est grand. De plus, la valeur d'un angle est directement reliée à la taille du segment qui lui est opposé. Plus un angle est grand, plus son côté opposé sera grand.

En somme :

• La valeur d'un angle est directement proportionnelle à la valeur de son sinus.
• La valeur d'un angle est directement proportionnelle à la taille de son segment opposé.

On peut observer ces concepts dans la figure suivante :

Ici, on remarque que l'angle le plus grand ($77°$) s'ouvre sur le côté le plus grand ($45,2$ cm). De plus, l'angle le plus petit ($45°$) s'ouvre sur le côté le plus petit ($32,9$ cm). On voit donc la corrélation entre les deux. C'est la même chose pour le sinus, le sinus le plus grand ($0,97$) est associé au côté le plus grand ($45,2$ cm).

À partir de ce concept de base, on peut aller plus loin en disant que la valeur du sinus d'un angle est parfaitement proportionnelle à la mesure du côté opposé.

En effet :

$\frac{0{,}97}{45{,}2 \text{cm}} \simeq \frac{0{,}85}{39{,}4 \text{cm}} \simeq \frac{0{,}71}{32{,}9 \text{cm}}$

Basé sur ces conclusions, on peut donner la formule suivante pour la loi des sinus :

$\frac{\sin A}{a} \simeq \frac{\sin B}{b} \simeq \frac{\sin C}{c}$

Regardons l'exemple suivant pour se familiariser avec l'utilisation de la formule.

Considérons le triangle suivant :

Quelle est la mesure du segment BC?

1. On commence par identifier les données importantes et les placer dans la formule.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$

Ici, le côté opposé à l'angle A (a) correspond au côté BC et le côté opposé à l'angle C (c) correspond au côté AB.

Donc $A = 61{,}4°$, $a = BC$, $C = 86°$, $c = 3{,}87 \text{ m}$.

$\frac{\sin 61{,}4°}{BC} = \frac{\sin 86°}{3{,}87 \text{ m}}$

2. Avec toutes ces mesures placées, on peut maintenant simplifier (effectuer les calculs de sinus).

$\frac{0{,}88}{BC} = \frac{0{,}99}{3{,}87 \text{ m}}$

3. Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de l'inconnue grâce au produit croisé!

$0{,}88 \cdot 3{,}87 = 0{,}99 \cdot BC$

On obtient donc la valeur de $3{,}44$ m pour le côté BC!

Attention! Il faut toujours vérifier s'il s'agit d'un angle obtus ou aigu lorsqu'on recherche la mesure d'un angle. S'il s'agit d'un angle aigu, la réponse est obtenue directement. Toutefois, s'il s'agit d'un angle obtus, il faut soustraire la réponse obtenue de $180°$ afin de déterminer la vraie valeur de l'angle (on trouve l'angle supplémentaire à l'angle qu'on cherche).

Voici un court exemple :

Considérons le triangle suivant :

Pour trouver la mesure de l'angle B (qui est évidemment obtus), nous utiliserons la loi des sinus.

1. On place les données dans la formule.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$

$\frac{\sin 26{,}3}{8} = \frac{\sin B}{15{,}6}$

2. On simplifie les valeurs possibles.

$\frac{0{,}443}{8} = \frac{\sin B}{15{,}6}$

3. On détermine la valeur de Sin B avec le produit croisé, puis on détermine l'angle de B.

$\sin B = 0{,}864$

$B = \sin^{-1} 0{,}864$

$B = 59{,}77°$

4. Évidemment, l'angle B ne mesure pas $59,77°$. Nous venons plutôt de déterminer la valeur de l'angle supplémentaire à l'angle B. On calcule donc la valeur de l'angle B.

$180° - 59{,}77° = B$

$120{,}23° = B$

Cette réponse semble beaucoup plus logique!

2.2.3 – Loi des cosinus

Dans tout triangle, on peut déterminer des mesures manquantes de côtés ou d'angle lorsqu'on connaît déjà 3 valeurs (deux côtés et un angle ou trois côtés). On peut déterminer les valeurs manquantes à l'aide de la loi des cosinus.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C$

Les lois des cosinus permettent donc de trouver la mesure du $3^e$ côté lorsqu'on connaît les deux autres ainsi que l'angle compris entre les deux autres OU de connaître la valeur d'un angle lorsqu'on connaît les mesures des trois côtés.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons le triangle suivant :

Ici, on cherche à déterminer la mesure manquante sur le côté du bas.

1. On commence par déterminer quels côtés et angles seront représentés par quelles variables dans notre triangle.

2. On choisit la formule appropriée et on remplace les valeurs et on simplifie l'expression (formule vide, formule remplie, résolution).

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A$

$a^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos 73{,}6°$

$a^2 = 144 + 324 - 432 \cdot 0{,}282$

$a^2 = 468 - 121{,}82$

$a^2 = 346{,}18$

$a = 18{,}61 \text{ cm}$

Visuellement, ça semble logique puisque a semble être le plus grand côté du triangle!

2.2.4 – Formule trigonométrique

Finalement, on peut réutiliser notre compréhension de la proportionnalité dans les triangles quelconques pour calculer l'aire de ce genre de triangle. La formule de Héron fonctionne bien lorsque les mesures de tous les côtés sont connues, mais ce n'est pas toujours le cas.

La formule trigonométrique s'applique dans les situations où on connaît les mesures de deux côtés ainsi que l'angle compris entre les deux (« sandwich » CAC). Dans ces situations, la formule suivante peut être utilisée :

$\text{Aire} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{2}$

Où a et b sont les deux côtés et C est l'angle compris entre les deux.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 109, # 1(cdf), 2(adgi), 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15 et 17.