Section 6.1 – Introduction à la fonction quadratique

Dans cette section, nous introduirons la première des deux nouvelles fonctions à voir en SN 4, soit la fonction quadratique. Normalement, si vous avez bien suivi les cours du dernier chapitre, vous êtes déjà familiers avec cette fonction et certains aspects de sa résolution. Nous couvrirons cette fonction en détail dans les deux prochaines sections.

Un peu comme la fonction linéaire, la fonction quadratique a une multitude d'applications possibles. Tant en mathématiques appliquées qu'en physique et en chimie, ce type de fonction et ses résolutions se retrouvent dans une multitude de contextes.

6.1.1 – Les formes de la fonction quadratique

Contrairement aux fonctions qui ont été vues dans les années précédentes, la fonction quadratique peut être exprimée en deux formes différentes, soit :

• Forme canonique : $y = a(x - h)^2 + k$
• Forme générale : $y = ax^2 + bx + c$

Voici quelques informations pertinentes à leur sujet :

• Les deux formes de la fonction ont des utilités différentes : la forme canonique est utile pour représenter la fonction alors que la forme générale est utile pour résoudre l'équation et déterminer ses zéros.
• Il est possible de passer facilement d'une forme à l'autre (voir plus bas).
• Dans les deux cas, $a$ ne doit pas valoir $0$! ($a \neq 0$). Si c'est le cas, la fonction quadratique devient simplement une fonction linéaire.

6.1.2 – Passage d'une forme d'écriture à une autre

Forme canonique vers forme générale

Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il suffit de :

1. développer le carré du binôme $(x - h)^2$;
2. simplifier l'équation.

Normalement, on devrait obtenir une forme $ax^2 + bx + c$ (à moins que $b$ ou $c$ aient une valeur de $0$).

Voici un exemple pour vous aider. Considérons l'équation canonique suivante :

$y = 2(x - 4)^2 + 7$

1. On développe le carré du binôme.

$y = 2(x - 4)^2 + 7$

devient

$y = 2(x^2 - 8x + 16) + 7$

2. On peut maintenant simplifier l'expression algébrique.

$y = 2(x^2 - 8x + 16) + 7$

devient

$y = 2x^2 - 16x + 32 + 7$

On réunit les termes semblables :

$y = 2x^2 - 16x + 39$

L'équation obtenue correspond maintenant à la forme générale $y = ax^2 + bx + c$!

Forme générale vers forme canonique

L'idée derrière cette technique est de réussir à isoler le carré d'un binôme à l'intérieur de la forme générale. Puisque ce n'est pas toujours une tâche facile, il existe des formules qui facilitent le travail.

Pour passer de la forme générale à la forme canonique, on doit utiliser les deux formules suivantes :

$h = \frac{-b}{2a} \qquad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

On suit donc les étapes suivantes pour passer de la forme générale à la forme canonique :

• Déterminer la valeur de $a$ (c'est la même valeur de $a$ que dans la forme $ax^2 + bx + c$).
• Déterminer la valeur de $h$.
• Déterminer la valeur de $k$.
• Écrire la formule sous la forme canonique grâce aux trois informations précédentes.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction quadratique suivante sous la forme générale :

$y = 3x^2 + 12x + 14$

1. On détermine la valeur de $a$.

Dans la formule $y = 3x^2 + 12x + 14$, $a = 3$.

2. On détermine la valeur de $h$.

$h = \frac{-b}{2a} \rightarrow h = \frac{-12}{2 \cdot 3} \rightarrow h = \frac{-12}{6}$

$h = -2$

3. On détermine la valeur de $k$.

$k = \frac{4ac - b^2}{4a} \rightarrow k = \frac{4 \cdot 3 \cdot 14 - 12^2}{4 \cdot 3} \rightarrow k = \frac{168 - 144}{12}$

$k = 2$

4. On peut maintenant écrire la règle sous la forme canonique.

$y = 3(x + 2)^2 + 2$

Notez que puisque la parenthèse est $(x - h)$ et que $h$ a une valeur négative, les deux négatifs s'annulent pour donner $(x + 2)$.

6.1.3 – Représentation graphique de la fonction quadratique

La fonction quadratique a certaines caractéristiques intéressantes :

• La fonction est de forme parabolique.
• La fonction est symétrique de part et d'autre de son sommet.
• La coordonnée du sommet est donnée par les valeurs de $h$ et $k$ dans la forme canonique : $\text{Sommet} = (h, k)$.
• L'axe de symétrie est donné par $x = h$ dans la forme canonique.
• Si $a$ est positif, la parabole est ouverte vers le haut; si $a$ est négatif, la fonction est ouverte vers le bas. Cette caractéristique est valable dans les deux formes d'écriture.

Pour représenter une fonction quadratique dans le plan cartésien, on doit connaître la coordonnée de son sommet. La forme canonique est donc essentielle pour connaître cette information. Pour tracer le reste de la fonction, on doit déterminer un certain nombre de points qui seront reliés en courbe pour représenter la fonction. On peut profiter du fait que la fonction est symétrique pour réduire notre travail.

On peut donc suivre les étapes suivantes :

• Connaître la formule de la fonction sous la forme canonique (voir plus haut).
• Déterminer si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas (signe du $a$).
• Déterminer la coordonnée du sommet $(h, k)$.
• Déterminer un certain nombre de points en remplaçant $x$ par des valeurs que l'on choisit (près du sommet).
• Relier les différents points au meilleur de nos capacités (il n'est pas possible d'utiliser une règle).

Voici un exemple pour vous aider. Considérons la fonction suivante :

$y = 0{,}5(x + 3)^2 - 2$

1. On souhaite connaître la forme canonique de la fonction; c'est déjà le cas ici.

2. On détermine l'orientation de l'ouverture de la parabole.

Puisque $a = 0{,}5$, $a$ est positif, la parabole est donc ouverte vers le haut.

3. On détermine la coordonnée du sommet.

Dans $y = 0{,}5(x + 3)^2 - 2$, on a $h = -3$ et $k = -2$. Les coordonnées du sommet sont donc $(-3, -2)$.

4. On détermine un nombre de points en remplaçant $x$ par les valeurs de notre choix (près du sommet si possible).

Puisque le sommet est à $x = -3$, on choisit des données près de cette valeur. On peut utiliser un tableau pour placer nos données, et on peut aussi déterminer les points symétriques à ceux trouvés (voir graphique).

5. On place les points dans le plan cartésien et on trace au meilleur de nos compétences.

6.1.4 – Les zéros de la fonction et résolution de la fonction quadratique

Dans bien des situations, vous serez amenés à déterminer les zéros d'une fonction quadratique ou de résoudre une fonction quadratique (déterminer les valeurs $y$ pour un $x$ connu et vice-versa).

Grâce au travail effectué dans le chapitre précédent, vous êtes en mesure de résoudre toutes les situations liées aux fonctions quadratiques.

Dans toutes les situations, on procède ainsi :

• Écrire l'équation donnée.
• Mettre l'équation égale à $0$.
• Résoudre l'équation grâce aux techniques de factorisation (Section 5.1 et 5.2) ou grâce à la formule quadratique (Section 5.3).
• Déterminer les solutions (il peut y en avoir deux, une ou aucune selon la fonction).

Voici un exemple pour mieux comprendre. Considérons la question suivante : pour quelles valeurs de $x$ la fonction $y = 1{,}5x^2 - 6x + 9$ a-t-elle une valeur de $6$ ($y = 6$)?

1. On écrit d'abord l'équation qui représente la situation.

$6 = 1{,}5x^2 - 6x + 9$

2. On amène l'équation égale à $0$.

$0 = 1{,}5x^2 - 6x + 3$

3. On résout l'équation grâce aux techniques de factorisation (si possible).

$0 = 1{,}5x^2 - 6x + 3$

$0 = 1{,}5(x^2 - 4x + 2)$

Ici, c'est la technique de la complétion du carré qui fonctionnera :

$0 = 1{,}5(x^2 - 4x + 4 - 4 + 2)$

$0 = 1{,}5\left((x - 2)^2 - 2\right)$

$0 = 1{,}5(x - 2 + \sqrt{2})(x - 2 - \sqrt{2})$

$0 = 1{,}5(x - 0{,}59)(x - 3{,}41)$

Nos solutions sont donc $x_1 = 0{,}59$ et $x_2 = 3{,}41$.

4. On peut confirmer nos réponses grâce au graphique de la fonction.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 207, # 1 (fonctions 1, 3 et 6), 2 (fonctions 1 et 4), 5abc, 6 ($2^e$ fonction), 7, 9, 11, 13 et 14.