Section 6.3 – La fonction escalier

Notre dernière section de théorie de l'année! Ça y est! J'espère vous avoir gardé le meilleur pour la fin, n'est-ce pas?

Comme dernière section, nous introduirons un nouveau type de fonction : la fonction escalier. Aussi appelée fonction partie entière (ce terme sera particulièrement utile dans vos calculatrices graphiques), la fonction escalier est basée sur un concept mathématique simple, soit l'utilisation des parenthèses carrées $[x]$ qui donnent leur nom à la fonction.

Lorsqu'un nombre est placé dans ces parenthèses $[x]$, il est transformé en la valeur numérique entière inférieure.

Voici quelques exemples :

$[3{,}5] = 3 \qquad [\pi] = 3 \qquad [-2{,}1] = -3 \qquad [0{,}99] = 0$

6.3.1 – La règle d'une fonction escalier et le rôle des paramètres

Ayant vu récemment la forme canonique de la fonction quadratique $y = a(x - h)^2 + k$, vous verrez sans doute certains parallèles avec le modèle de la fonction escalier :

$y = a[b(x - h)] + k$

où $a$ et $b$ ne peuvent pas valoir zéro ($a$ et $b \neq 0$).

Dans sa forme la plus simple, la fonction escalier ressemble à ceci :

$y = [x] \quad \text{ou} \quad y = 1[1(x - 0)] + 0$

Valeur des composantes : $a = 1$, $b = 1$, $h = 0$, $k = 0$.

On peut remarquer que les « marches » de l'escalier sont d'une unité de longueur, et d'une unité de hauteur. L'escalier passe par le point $(0, 0)$ dans le plan cartésien.

Rôle du paramètre $a$

En modifiant seulement la valeur du paramètre $a$, on pourra examiner son impact sur la fonction escalier. Voici la même fonction que l'exemple précédent où seule la valeur de $a$ a été modifiée :

$y = 2[x]$

Valeur des composantes : $a = 2$, $b = 1$, $h = 0$, $k = 0$.

On peut remarquer que la fonction passe toujours par le point $(0, 0)$, que les marches ont toujours une longueur de $1$ unité, mais que la hauteur entre les marches est maintenant de $2$ unités, correspondant à la valeur de $a$. La composante $a$ contrôle donc directement la hauteur entre les marches (aussi appelée l'écart entre les marches ou contremarche).

De plus, les valeurs de $a$ négatives produiront un escalier « descendant » puisque l'écart entre les marches sera maintenant d'une valeur négative.

Rôle du paramètre $b$

En modifiant seulement la valeur du paramètre $b$, on pourra examiner son impact sur la fonction escalier. Voici la même fonction que notre premier exemple où seule la valeur de $b$ a été modifiée :

$y = [2(x)]$

Valeur des composantes : $a = 1$, $b = 2$, $h = 0$, $k = 0$.

On peut remarquer que la fonction passe toujours par le point $(0, 0)$ et que la hauteur entre les marches est toujours de $1$ unité. Par contre, la longueur des marches est maintenant de $0{,}5$ unité. L'impact de la composante $b$ sur la longueur des marches correspond donc à la relation mathématique suivante :

$\text{Longueur des marches} = \frac{1}{b}$

Dans notre cas, $b$ vaut $2$ donc $L = \frac{1}{2} = 0{,}5$. La longueur des marches est donc $0{,}5$ unité.

La composante $b$ contrôle donc inversement la longueur des marches.

De plus, les valeurs de $b$ négatives produiront une symétrie d'axe $y$. Ceci aura un impact important sur les valeurs « incluses » et « exclues » sur chacune des marches.

Rôle des composantes $h$ et $k$

En modifiant seulement les valeurs des paramètres $h$ et $k$, on pourra examiner leur impact sur la fonction escalier. Voici la même fonction que notre premier exemple où seules les valeurs de $h$ et $k$ ont été modifiées :

$y = [x - 2] + 3$

Valeur des composantes : $a = 1$, $b = 1$, $h = 2$, $k = 3$.

On peut remarquer que la fonction passe encore par le point $(0, 0)$ mais avec la fin d'une marche, contrairement à nos fonctions précédentes. Par contre, l'élément qui nous intéresse le plus ici est le fait que nous savons maintenant qu'une des marches débutera à la coordonnée $(2, 3)$ correspondant ainsi aux valeurs de $(h, k)$.

Il faut remarquer que puisqu'une fonction escalier est constituée d'un modèle répétitif, certaines valeurs de $h$ et $k$ ne produiront pas de différences visuelles sur la fonction. Voici un exemple pour illustrer ce point :

$y = [x] \qquad y = [x - 1] + 1$

6.3.2 – La recherche de la règle d'une fonction escalier

Pour déterminer la règle d'une fonction escalier, il faut connaître les valeurs de ces éléments :

• Hauteur entre les marches ($a$).
• L'escalier est-il montant ou descendant? ($a$ positif ou négatif)
• Longueur de la marche ($1/b$).
• Les marches débutent-elles par un point plein ou vide? ($b$ positif ou négatif)
• Coordonnée du début de marche le plus près de l'origine du plan cartésien $(h, k)$.

En connaissant toutes ces informations, il suffit de placer les bonnes valeurs dans le modèle de la fonction pour déterminer la règle de la fonction. C'est tout!

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante :

On cherche à déterminer la valeur des différentes composantes; on peut donc annoter le graphique de la manière suivante :

• L'escalier est « montant », la valeur de $a$ est donc positive.
• La longueur des marches est de $4$, la valeur de $b$ est donc $b = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
• Les valeurs sur les marches sont « incluses » puis « exclues », la valeur de $b$ est donc positive.
• L'écart entre les marches est de $0{,}5$, la valeur de $a = 0{,}5$.
• Le point plein (sur une « belle coordonnée ») le plus près de l'origine du graphique est $(-3, -4)$, les valeurs de $h$ et $k$ sont donc $-3$ et $-4$.

En connaissant toutes ces informations, on peut donc écrire la formule :

$a = 0{,}5 \qquad b = 0{,}25 \qquad h = -3 \qquad k = -4$

$y = a[b(x - h)] + k$

devient donc

$y = 4[2(x + 3)] - 4$

6.3.3 – Résolution algébrique de fonction escalier

Un peu comme la fonction quadratique, la fonction escalier demande un peu de réflexion pour la résoudre. C'est davantage le cas lorsque vient le temps de déterminer la valeur de $x$ pour une valeur de $y$ connue puisqu'il faut réfléchir à la signification de l'opérateur mathématique partie entière et l'intégrer à notre démarche.

Voici les grandes étapes à suivre pour résoudre une fonction escalier :

• Remplacer la variable connue dans l'équation.
• Isoler la partie entière en se débarrassant du $k$ et puis du $a$ (en respectant les priorités d'opérations).
• Résoudre la partie entière d'abord pour la valeur désirée (disons $z$) puis pour la valeur désirée $+1$ (donc $z + 1$).
• Déterminer l'ensemble solution avec les deux réponses en utilisant les valeurs incluses et exclues (voir les points plein et vide sur la fonction).

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Tentons de résoudre l'équation suivante :

$28 = 2[0{,}5x] - 4$

Notons que puisque le $a$ et le $b$ de cette fonction sont positifs, les plateaux sont dans une configuration point plein-point vide.

1. La première étape est déjà faite pour nous dans cette situation!

2. On isole la partie entière.

$28 = 2[0{,}5x] - 4$

En ajoutant $4$ des deux côtés :

$32 = 2[0{,}5x]$

En divisant par $2$ des deux côtés :

$16 = [0{,}5x]$

3. C'est ici qu'il faut réfléchir un peu! On doit résoudre une fois pour $16$ (évidemment) et une fois pour $17$ (puisque $16{,}99999...$ donnerait $16$ quand même).

$16 = 0{,}5x \rightarrow x = 32$

$17 = 0{,}5x \rightarrow x = 34$

4. On écrit notre solution en considérant la configuration de nos paliers.

Puisque toutes les valeurs de $x$ comprises entre $32$ et $34$ vont générer une valeur de $y$ de $12$ mais que le palier se termine sur une valeur exclue (point vide), on obtient l'ensemble solution suivant :

$x \in [32, 34[$

qui se lit « $x$ est élément (c'est le symbole étrange) de l'ensemble $32$ inclus à $34$ exclu ».

C'est tout! Félicitations à tous pour vos efforts au cours de l'année scolaire! Il ne reste qu'à compléter la révision et les évaluations de ce chapitre et nous pourrons débuter la révision en prévision de l'examen du Ministère à la fin de l'année! Go go go!!

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 107, # 1, 2, 3, 6bc, 7a, 8, 9, 14, 15, 16 et 19.