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Section 2.1 – Les rapports trigonométriques

Après le théorème de Pythagore, certaines des notions les plus utiles lorsqu'on s'intéresse aux triangles rectangles sont les rapports trigonométriques. Nous en avons déjà parlé plus tôt cette année dans le cours de sciences lors des calculs de vecteurs, ce sera donc essentiellement la même chose ici.

2.1.1 – SOHCAHTOA!​

Le truc mnémotechnique pour cette section est SOH-CAH-TOA

Les formules sont donc

sin⁡Θ=opposeˊhypoteˊnusecos⁡Θ=adjacenthypoteˊnusetan⁡Θ=opposeˊadjacent\sin \Theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos \Theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \Theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}

Nous ferons un exemple d'application pour chacune de ces formules.

SOH

Considérons la situation suivante : Quel est l'angle A du triangle rectangle suivant?

Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en C, AC = 7 cm, CB = 14,4 cm, AB = 16 cm, angle A cherché

1. On détermine les valeurs importantes par rapport à la formule de notre choix.

Pour utiliser SOH, nous avons besoin du côté opposé à l'angle A (le segment BC) ainsi que l'hypoténuse (segment AB).

Même triangle avec le côté BC identifié comme opposé et le côté AB identifié comme hypoténuse

2. Placer les valeurs dans la formule vide.

sin⁡Θ=opp.Hypsin⁡Θ=14,416\sin \Theta = \frac{\text{opp.}}{\text{Hyp}} \qquad \sin \Theta = \frac{14{,}4}{16}

3. On simplifie et on isole Ө (qui représente la mesure de l'angle).

Important : pour éliminer la fonction sin, on utilise sin⁡−1\sin^{-1} (c'est l'opération inverse). On note parfois sin⁡−1\sin^{-1} comme arcsin.

sin⁡Θ=14,416sin⁡Θ=0,9Θ=sin⁡−10,9Θ=64,16°\sin \Theta = \frac{14{,}4}{16} \qquad \sin \Theta = 0{,}9 \qquad \Theta = \sin^{-1} 0{,}9 \qquad \Theta = 64{,}16°

CAH

Considérons la situation suivante : Quelle est la mesure du segment AC dans le triangle suivant?

Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en C, l'angle A de 60 degrés et l'hypoténuse AB = 150 m

1. Comme toujours, on place les informations importantes dans la formule vide.

Le segment AC recherché représente le côté adjacent à l'angle de 60°60° et nous connaissons la mesure de l'hypoténuse (150 m).

Même triangle avec le côté AC identifié comme adjacent et le côté AB identifié comme hypoténuse

cos⁡Θ=ajdhypcos⁡60°=adj150\cos \Theta = \frac{\text{ajd}}{\text{hyp}} \qquad \cos 60° = \frac{\text{adj}}{150}

2. Ensuite, on simplifie l'équation et on isole la valeur souhaitée.

Important : on peut « utiliser » la fonction Cos (ou sin ou tan) pour obtenir une valeur numérique.

cos⁡60°=adj1500,5=adj150150⋅0,5=adj75=adj\cos 60° = \frac{\text{adj}}{150} \qquad 0{,}5 = \frac{\text{adj}}{150} \qquad 150 \cdot 0{,}5 = \text{adj} \qquad 75 = \text{adj}

TOA

Considérons la situation suivante : Quelle est la mesure du segment BC?

Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en B, AB = 24 dm, l'angle en C de 72 degrés et BC cherché

1. On place les valeurs connues dans la formule.

Puisque l'hypoténuse n'est pas connue ici, on ne peut pas utiliser ni le Sin ou le Cos. On utilisera donc le Tan.

Même triangle avec le côté AB identifié comme opposé et le côté BC identifié comme adjacent

tan⁡Θ=opposeˊadjacenttan⁡72=24adj.\tan \Theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \qquad \tan 72 = \frac{24}{\text{adj.}}

2. On simplifie et on isole la valeur inconnue.

tan⁡72=24adj.3,08=24adjadj⋅3,08=24adj=243,08adj.=7,79 dm\tan 72 = \frac{24}{\text{adj.}} \qquad 3{,}08 = \frac{24}{\text{adj}} \qquad \text{adj} \cdot 3{,}08 = 24 \qquad \text{adj} = \frac{24}{3{,}08} \qquad \text{adj.} = 7{,}79 \text{ dm}

2.1.2 – Rapports particuliers​

Dans les triangles rectangles, il existe une situation particulière lorsque l'un des angles (autre que l'angle rectangle) vaut 30°30°. Dans ces situations précises, le segment opposé à l'angle de 30°30° mesure exactement la moitié de l'hypoténuse. C'est bien pratique!

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 85, # 1, 2(ace), 3(bdf), 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15 et 16 ; p. 96, # 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15 et 17.