Section 1.3 – Les relations métriques dans les triangles rectangles

Après deux sections relativement faciles sur les triangles isométriques et les triangles semblables, nous entamons une section plus abstraite. Les relations métriques qui vous seront présentées vous sembleront peut-être complexes mais je tenterai du mieux que je peux de rendre le tout plus clair. Vous verrez, ce n'est pas si complexe.

1.3.0 – La prémisse de départ

Toutes les relations mathématiques présentées dans cette section sont basées sur l'assomption suivante : lorsqu'on abaisse une hauteur à partir du sommet opposé à l'hypoténuse dans un triangle rectangle, on forme deux petits triangles qui sont semblables au triangle initial.

Comme mentionné plus haut, nous pouvons remarquer que le triangle ABC est rectangle. Les triangles ABH et BCH le sont aussi. Nous prenons pour acquis que les triangles ABC, ABH et BCH sont tous semblables.

1.3.1 – L'hypoténuse et l'un des côtés de l'angle droit est proportionnel à ce même côté et sa projection sur l'hypoténuse

Voici un exemple. Considérons le triangle suivant :

On peut utiliser le rapport entre les hypoténuses et les côtés longs des triangles ABC et AHC pour résoudre ce problème.

1. On sait que…

$\frac{HC}{AC} = \frac{AC}{BC}$

2. On remplace donc les informations que l'on connaît.

$\frac{41{,}5}{45} = \frac{45}{?}$

3. On simplifie l'expression et on isole notre variable, on effectue un produit croisé.

$41{,}5 \cdot BC = 45 \cdot 45$

$BC = \frac{45 \cdot 45}{41{,}5} = 48{,}8 \text{ cm}$

C'est tout! L'essentiel est de reconnaître quels sont les côtés homologues des triangles semblables, cela simplifie beaucoup la résolution de ces problèmes.

1.3.2 – La hauteur issue de l'angle droit sépare proportionnellement l'hypoténuse du triangle initial

1.3.3 – Le produit de la hauteur et de l'hypoténuse est égal au produit des côtés adjacents à l'angle droit

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 182, # 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16.