Section 1.1 – Figures isométriques et raisonnement mathématique

Dans cette section, vous serez amenés à utiliser un raisonnement mathématique pour prouver certains points, ce qu'on appelle le raisonnement déductif. Nous verrons ces démarches de raisonnement dans le cadre des triangles isométriques mais cette démarche sera réutilisée dans d'autres contextes au cours de l'année.

1.1.1 – Les triangles isométriques

Des triangles isométriques sont des triangles qui ont toutes leurs mesures homologues identiques, ce sont donc des triangles jumeaux.

Il existe trois moyens de prouver que des triangles sont isométriques :

• Tous les côtés homologues ont les mêmes mesures (CCC).
• Deux angles homologues et isométriques bordent un côté isométrique (sandwich Angle-Côté-Angle) (ACA).
• Deux côtés isométriques bordent un angle isométrique (sandwich Côté-Angle-Côté) (CAC).

Ces trois ensembles de critères pourront être utilisés pour démontrer que deux triangles sont identiques.

1.1.2 – Le raisonnement déductif en mathématique

En mathématiques, des chercheurs ou des mathématiciens théoriques peuvent tenter de démontrer ou d'expliquer certains phénomènes observés. D'autres peuvent même tenter de définir des lois qui permettent de faire des calculs dans des contextes particuliers.

Dans ces champs des mathématiques, on utilise un vocabulaire particulier :

Conjecture : Une conjecture est une proposition ou un énoncé pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration véritable mais que l'on croit vraie. On ne détient pas la preuve irréfutable que la conjecture est vraie mais, pour l'instant, il est impossible de la réfuter.

Une conjecture simple est le dernier énoncé de Fermat (Pierre de Fermat, 1607-1665) qui se lit comme suit : il n'existe pas de nombres entiers pour lesquels

$x^n + y^n = z^n$

dès que $n$ est un entier supérieur à 2.

Cet énoncé a pris plus de 300 ans à démontrer avant que le mathématicien Andrew Wiles n'en fasse la preuve en 1994.

Contre-exemple : Un contre-exemple est un exemple qui réfute (qui prouve qu'il n'est pas vrai) une conjecture.

Un bon exemple de contre-exemple implique à nouveau Pierre de Fermat. Il avait énoncé que, lorsque $n$ est un nombre entier positif,

$2^{2^n}+1$

donne toujours un nombre premier. Un nombre premier est un nombre qui ne se divise que par 1 et lui-même. Or, Leonhard Euler a démontré que lorsque $n=5$, on obtient le nombre 4 294 967 297 qui est divisible par 641, réfutant ainsi (assez facilement) la conjecture de Fermat.

Démonstration : Une démonstration est un raisonnement logique, basé sur des propriétés précédemment établies, qui permet d'établir une affirmation.

On pourrait faire la démonstration que deux angles opposés par le sommet sont isométriques de la manière suivante :

Considérant que l'angle AED mesure 29°, on peut affirmer que l'angle BEC mesure aussi 29° puisqu'ils sont opposés par le sommet.

1. L'angle CED mesure 151° puisque la droite AC est sécante à la droite BD.

Les angles AED et CED sont supplémentaires (somme de 180°) :

$180° - 29° = 151°$

2. L'angle BEC mesure 29° puisque la droite BD est sécante à la droite AC.

Les angles CED et BEC sont supplémentaires (somme de 180°) :

$180° - 151° = 29°$

3. Les angles AED et BEC sont donc isométriques.

Par toutes sortes de moyens, vous serez donc amenés à effectuer des conjectures, des démonstrations et des contre-exemples.

1.1.3 – Exemple de démonstration de triangles isométriques

Voici un exemple de structure que vous pouvez utiliser pour faire la démonstration que deux triangles sont isométriques. Considérons les triangles suivants :

1. On doit d'abord identifier le critère sur lequel notre démonstration s'appuiera.

Dans cette situation, on ne connaît pas toutes les mesures des côtés des triangles et nous ne connaissons qu'un angle. Les critères CCC et ACA sont donc éliminés. On choisira donc CAC.

2. Présenter l'énoncé de départ pour la démonstration.

Les triangles ABC et EFG sont isométriques selon le critère C-A-C.

Ou

$\triangle ABC$ et $\triangle EFG$ sont isométriques selon le critère C-A-C.

3. Démontrer chaque élément du critère choisi (chacune des lettres).

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 162, # 1, 2 (aceh), 3 (bdf), 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 18, 20.