Section 1.2 – Les triangles semblables

Alors que dans la dernière section notre objectif était de déterminer si deux ou plusieurs triangles étaient isométriques (tous leurs côtés et angles homologues identiques), l'objectif de cette section sera légèrement différent. Ici, nous cherchons à déterminer si deux ou plusieurs triangles sont semblables.

Figures semblables : Deux figures sont semblables lorsque tous leurs angles homologues sont isométriques et/ou lorsque tous leurs côtés homologues sont proportionnels.

Par exemple :

On remarque que les deux triangles ont tous leurs angles homologues isométriques. On peut ensuite remarquer que lorsqu'on divise les côtés homologues ensemble, on obtient toujours le même rapport.

$\frac{6}{4} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5$

1.2.1 – Conditions minimales des triangles semblables

Pour identifier deux triangles semblables, il existe trois groupes de conditions minimales :

1. Deux triangles possédant deux angles homologues isométriques sont semblables (AA – Angle Angle).

2. Deux triangles dont un angle homologue isométrique est compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles (CAC – Côté Angle Côté).

Ici, les deux angles de 52° sont compris entre deux côtés homologues et proportionnels :

$\frac{263}{176} = \frac{245}{160} = 1{,}53$

3. Deux triangles dont tous les côtés homologues sont proportionnels (CCC – Côté Côté Côté).

Ici, tous les côtés homologues sont proportionnels :

$\frac{62}{31} = \frac{58}{29} = \frac{37}{18{,}5} = 2$

1.2.2 – Exemple de démonstration de triangles semblables

Voici un exemple de structure que vous pouvez utiliser pour faire la démonstration que deux triangles sont semblables. Considérons les triangles suivants :

1. On doit d'abord identifier le critère sur lequel notre démonstration s'appuiera.

Dans cette situation, les trois critères pourraient être utilisés. Par contre, pour cet exemple, c'est le critère CAC qui sera utilisé.

2. Présenter l'énoncé de départ pour la démonstration.

Les triangles ABC et CDF sont semblables selon le critère C-A-C.

Ou

$\triangle ABC$ et $\triangle CDF$ sont semblables selon le critère C-A-C.

3. Démontrer chaque élément du critère choisi (chacune des lettres).

4. Dans le cas des critères CAC et CCC, il faut mettre en évidence le fait que les rapports de similitude sont tous les mêmes entre les paires de côtés homologues. On écrit donc une conclusion.

Puisque les triangles ABC et CDF sont composés d'un angle homologue et isométrique entouré par deux paires de côtés proportionnels, on peut conclure que ces triangles sont semblables selon le critère CAC.

Vous pouvez maintenant tester votre compréhension de ces concepts à l'aide des exercices suivants dans le Volume 1 de votre manuel Vision.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 172, # 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15, 17, 18, 21, 22.