Section 4.1 – La distance entre deux points et les systèmes d'équations

Dans plusieurs domaines, les plans cartésiens sont utilisés pour illustrer l'emplacement de certains objets, structures, animaux ou même personnes dans un espace donné.

Par exemple, les arpenteurs géomètres utilisent leurs instruments pour établir les distances entre certaines structures ou repères afin d'établir les plans d'implantations des propriétés résidentielles ou commerciales.

Pour calculer la distance séparant deux points d'un plan cartésien, il existe deux méthodes très efficaces : la méthode du triangle et la formule. Nous utiliserons un exemple concret pour démontrer l'utilisation de ces deux techniques.

4.1.1 – La formule de la distance entre deux points

La formule mathématique pour calculer la distance entre deux points est la suivante :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Démontrons d'abord l'utilisation de la formule.

Considérons la situation suivante : on cherche à connaître la distance qui sépare le point A et le point B.

1. On commence par déterminer les coordonnées de nos deux points.

Puisque le point A est le plus à gauche, il sera considéré comme $(x_1, y_1)$. Le point B sera donc considéré comme $(x_2, y_2)$.

A sera donc $(-2, 3)$ et B sera $(5, 6)$.

2. On place les informations connues dans la formule.

Une fois remplie, la formule

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

devient

$d = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (6 - 3)^2}$

$d = \sqrt{(7)^2 + (3)^2}$

$d = \sqrt{49 + 9}$

$d = \sqrt{58}$

$d = 7{,}61$

On obtient donc une distance de $7{,}61$ unités entre les points A et B.

4.1.2 – La technique du triangle

La deuxième méthode pour établir la distance entre deux points est basée sur le théorème de Pythagore. Pour y arriver, on relie les deux points dans un triangle rectangle et on calcule la valeur de l'hypoténuse.

Rappel : la formule du théorème de Pythagore est

$a^2 + b^2 = c^2$

où $a$ et $b$ sont les cathètes et $c$ est l'hypoténuse.

Reprenons l'exemple de tout à l'heure pour illustrer la méthode.

1. On commence par tracer un triangle rectangle en suivant le quadrillage du plan cartésien.

2. On calcule ensuite la longueur de chaque cathète du triangle.

3. On applique alors la formule de Pythagore pour calculer la longueur de l'hypoténuse.

$a^2 + b^2 = c^2$

$7^2 + 3^2 = c^2$

$49 + 9 = c^2$

$58 = c^2$

$7{,}61 = c$

On obtient donc que la distance entre les deux points est (encore une fois) $7{,}61$ unités.

On peut donc constater que les deux méthodes mènent au même résultat, il en revient donc à votre préférence personnelle pour choisir la méthode que vous désirez utiliser au cours de l'année.

4.1.3 – La résolution des systèmes d'équations

Comme nous l'avons vu l'an passé, il existe trois grandes méthodes pour la résolution de systèmes d'équations. Nous en ferons une révision sommaire ici et vous pourrez vous référer à la section appropriée en secondaire 3 pour plus de détails.

Pour débuter, rappelons qu'un système d'équations fait référence à une situation où plusieurs fonctions (linéaires ou autres) coexistent. La résolution des systèmes d'équations a pour but de trouver la « solution » d'un système d'équations, cette solution étant leur point de rencontre (l'endroit où les fonctions ont la même valeur). La solution d'un système d'équations est donc une coordonnée.

4.1.3.1 – Méthode graphique

La méthode graphique est doublement pratique puisqu'elle vous permet (parfois) de trouver la solution d'un système d'équations mais surtout puisqu'elle vous permet de VISUALISER le système d'équations et de vous donner une meilleure idée de la situation. La méthode graphique continuera d'être utile lors de l'introduction de nouveaux systèmes d'équations. Cette méthode peut aussi être utilisée sous forme de croquis.

4.1.3.2 – Table de valeurs

La méthode de la table de valeurs est probablement la moins efficace et pertinente. Elle peut être utile lorsque la coordonnée du point de rencontre est composée de nombres entiers. Elle est plus longue à mettre en place mais lorsqu'on arrive à en trouver la solution, la réponse devient évidente.

$X$	-1	0	1	2	3	4	5
$Y_1 = 0{,}25x - 2$	-2,25	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1	-0,75
$Y_2 = -1{,}5x + 5$	6,5	5	3,5	2	0,5	-1	-2,5

Solution : $(4, -1)$

4.1.3.3 – Méthode algébrique – comparaison

Cette méthode est la plus pratique et rapide lorsque vous disposez de fonctions linéaires sous la forme générale ($y = ax + b$). Elle permet de trouver la réponse exacte en quelques étapes faciles à suivre (très peu de variabilité d'une situation à une autre).

(Voir Secondaire 3, Section 3.3)

4.1.3.4 – Méthode algébrique – substitution

Cette deuxième méthode algébrique permet, elle aussi, d'obtenir la solution exacte au système d'équations. Elle est particulièrement utile (mais pas obligatoire) lorsqu'une des fonctions ou les deux ne sont pas dans la forme générale. On procède en isolant une variable dans une des deux fonctions et en la remplaçant par sa valeur dans l'autre équation.

(Voir Secondaire 3, Section 3.3)

Les exercices reliés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 84, # 1, 2, 3, 4(bdf), 5 et 6.