Section 4.2 – La pente d'une droite et les droites particulières

À ce point-ci de l'année scolaire, vous êtes bien familiers avec le calcul de la pente d'une fonction linéaire :

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Toutefois, quelques détails additionnels peuvent être ajoutés à vos connaissances.

4.2.1 – Les droites particulières

Lorsqu'on parle de fonctions linéaires, il peut exister quatre grandes relations entre deux droites :

• Sécantes – Lorsque deux droites n'ont pas la même pente ($a_1 \neq a_2$), il est inévitable qu'elles se coupent à un point ou un autre du plan cartésien (elles sont donc sécantes).

• Parallèles – Lorsque deux droites ont la même pente ($a_1 = a_2$) mais deux valeurs initiales différentes ($b_1 \neq b_2$), les droites seront parfaitement parallèles. Puisqu'elles ne se rencontreront jamais, il n'existe pas de solution à ce système d'équations.

• Confondues – Lorsque deux droites ont la même pente ($a_1 = a_2$) et la même valeur initiale ($b_1 = b_2$), ces deux droites sont littéralement l'une sur l'autre (on les confond, d'où le nom). Ces deux fonctions ont donc une infinité de solutions (elles sont toujours à la même valeur).

• Perpendiculaires – Ce dernier cas nous intéresse particulièrement cette année. Comme nous l'avons vu plus tôt dans le cours (chapitre 1 et 2), les droites perpendiculaires sont souvent pratiques en géométrie. Nous avons donc intérêt à pouvoir identifier et calculer les pentes des droites qui sont perpendiculaires.

4.2.1.1 – Droites perpendiculaires

Pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires, leurs pentes (ou taux de variation) doivent être inverses et opposés.

Par inverse, on parle de fraction inverse :

L'inverse d'un taux de variation de $3$ est la fraction inverse de $3$, soit $\frac{1}{3}$.

On peut le voir ainsi :

$3 = \frac{3}{1} \qquad \text{l'inverse est donc} \qquad \frac{1}{3}$

Par opposé, on parle de signe opposé :

Si le taux d'une droite est positif, l'autre doit être négatif (et vice-versa).

L'opposé de $3$ est donc $-3$.

En combinant ces deux idées, on comprend donc qu'une pente de $3$ est perpendiculaire à une pente de $-\frac{1}{3}$.

Il est aussi possible d'appliquer la formule suivante pour vérifier si les droites sont perpendiculaires ou pour déterminer la pente d'une droite qui serait perpendiculaire à une autre.

$a_2 = \frac{-1}{a_1}$

Dans cette formule, $a_2$ est le taux de variation de la $2^e$ fonction et $a_1$ est le taux de variation de la $1^{re}$ fonction.

Les exercices liés à cette section se trouvent sur Classroom (Exercices – Section 4.2).