Section 4.3 – Les inéquations dans le plan cartésien

La dernière section de notre chapitre concernant le plan cartésien portera sur les inéquations dans le plan cartésien.

La représentation d'une inéquation pourra vous sembler un peu étrange mais elle n'est pas bien différente de celle d'une équation linéaire régulière ($y = ax + b$).

4.3.1 – Rappel sur les inéquations

Sans le savoir, vous utilisez déjà plusieurs inéquations dans votre vie quotidienne. Par exemple, lorsqu'on dit qu'un film est réservé aux 13 ans et plus, on pourrait l'exprimer ainsi ($a \geq 13$) où l'âge pour pouvoir voir le film est représenté par $a$. Évidemment, plusieurs autres situations utilisent les inéquations.

Lors d'un duathlon, la distance parcourue à vélo équivaut à plus du double de celle parcourue à pied.

$v > 2p$

La quantité de lipides et de glucides dans un éclair au chocolat est d'au plus $53{,}2$ g.

$l + g \leq 53{,}2$

La manipulation d'inéquations algébriques comporte plusieurs notions importantes qui ont déjà été couvertes l'an passé. (Voir Secondaire 3, Section 3.4)

Nous avions appris comment effectuer des manipulations algébriques sur des inéquations et comment les représenter sur une droite graduée.

Cette année, nous irons plus loin en représentant des inéquations linéaires dans un plan cartésien.

4.3.2 – Les inéquations dans le plan cartésien

Contrairement à une équation qui comporte une seule solution ($y = 3$ ou $x = 2$), une inéquation comporte une infinité de solutions qui sont représentées par un demi-plan.

Un demi-plan est une région du plan cartésien qui se situe au-dessus ou au-dessous d'une droite.

Pour tracer une inéquation dans un plan cartésien, il faut tenir compte de trois informations importantes :

• La fonction qui compose l'inéquation. $y > 3x + 2$ sera tracé comme la fonction $y = 3x + 2$.
• Le symbole de l'inéquation. Les symboles $<$ et $>$ donneront une ligne pointillée. Les symboles $\leq$ et $\geq$ donneront une ligne pleine.
• Le côté de l'inéquation. Pour $y < ax + b$ et $y \leq ax + b$, la zone indiquée sera sous la droite. Pour $y > ax + b$ et $y \geq ax + b$, la zone indiquée sera au-dessus de la droite.

Traçons donc une inéquation pour valider la démarche.

Considérons l'inéquation suivante : $y > -2{,}3x + 5$

1. Pour tracer l'inéquation, on doit d'abord tracer la fonction associée ($y = -2{,}3x + 5$).

Pour tracer une fonction, on doit toujours disposer de deux points qui font partie de cette fonction.

Le premier point est toujours « gratuit », c'est-à-dire qu'il nous est déjà donné dans la fonction.

La valeur initiale de la fonction est $5$, on a donc le point $(0, 5)$.

Le deuxième point peut être « inventé » en plaçant une valeur de $x$ de notre choix dans la fonction et en trouvant le $y$ associé.

Je choisirai $x = 3$ ici :

$y = -2{,}3x + 5$

$y = -2{,}3 \cdot 3 + 5$

$y = -6{,}9 + 5$

$y = -1{,}9$

Notre deuxième point est donc $(3, -1{,}9)$.

On place donc nos points $(0, 5)$ et $(3, -1{,}9)$ dans le plan cartésien et on trace la fonction avec ces points.

2. On peut maintenant identifier le côté de l'inéquation qui représentera l'ensemble-solution.

Pour choisir le côté de l'inéquation, on peut utiliser deux méthodes.

On peut soit retenir que :

$y \geq ax + b$ et $y > ax + b$ représentent des zones au-dessus de la droite.

$y \leq ax + b$ et $y < ax + b$ représentent des zones au-dessous de la droite.

Ou bien, on peut tester l'inéquation en choisissant un point du plan cartésien.

Ici, je choisirai le point $(2, 4)$ à tester dans l'inéquation $y > -2{,}3x + 5$.

$4 > -2{,}3 \cdot 2 + 5$

$4 > -4{,}6 + 5$

$4 > 0{,}4$

Puisque $4$ est effectivement plus grand que $0{,}4$, on sait que le point $(2, 4)$ fait effectivement partie de l'ensemble-solution.

On coloriera donc la zone où ce point est présent.

3. Il reste seulement à déterminer s'il s'agit d'une ligne pointillée ou continue.

4.3.3 – Les variables discrètes et les inéquations

Comme nous l'avons déjà mentionné, les inéquations ne donnent pas une solution mais une infinité de solutions. C'est toujours le cas (puisque le concept d'infini est assez vaste), mais certaines situations peuvent limiter le nombre de solutions (qui demeure infini — je sais, c'est mélangeant). Lorsqu'il s'agit d'une variable discrète, les possibilités sont plus limitées.

Une variable discrète est une variable qui ne peut être représentée que par des nombres entiers (souvent des entiers positifs). Par exemple, le nombre de fourmis sur Terre est incalculable, mais il ne peut pas prendre n'importe quelle valeur numérique, il doit toujours être un nombre entier.

Dans le plan cartésien, une inéquation dont la réponse est une variable discrète sera représentée ainsi :

Dans ce cas, les réponses possibles sont des nombres entiers positifs. Rappelons que les valeurs sur la ligne sont exclues puisque la ligne est pointillée.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 129, # 1, 2(adg), 3(ab), 5, 6(abc), 7(ab), 9, 10 et 13(ad).