Section 5.0 – Rappels

Comme vous vous en doutez, ce nouveau chapitre portant sur l'algèbre et la factorisation se construira sur vos connaissances préalables sur le sujet.

L'an passé, plusieurs concepts essentiels ont été introduits ou consolidés. Dans cette section, nous aurons donc l'occasion de revenir sur ces concepts importants et rendre la suite du chapitre plus facile.

5.0.1 – Lois des exposants

Les lois des exposants sont probablement les concepts les plus importants ayant été vus l'an passé lorsqu'on considère le chapitre à venir. Les « règles » à suivre lors de la manipulation d'expressions algébriques sont ESSENTIELLES et doivent être très bien maîtrisées pour éviter des erreurs de base. Vous pouvez consulter la section 1.2 en secondaire 3 pour avoir toutes les informations en détail.

Les six premières lois des exposants (sur un total de huit) peuvent être résumées grâce à ce tableau avec lequel vous êtes normalement très familiers :

Dans ce tableau, les flèches indiquent l'opération mathématique à appliquer aux exposants lorsque les bases (qui doivent être des bases communes) subissent des opérations mathématiques.

Par exemple :

$x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7$

Puisque les bases subissaient une multiplication, les exposants devaient être additionnés pour pouvoir réduire l'expression algébrique.

Les deux autres lois des exposants concernent la distribution d'exposants sur des parenthèses. Lorsqu'une parenthèse contenant exclusivement des multiplications (loi #7) ou des divisions (loi #8) est affectée d'un exposant, cet exposant pourra être distribué à toutes les bases contenues dans la parenthèse.

Ex :

$\left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}$

Concernant les deux dernières lois, il est important de comprendre que si une parenthèse contient une addition ou une soustraction, ces lois ne s'appliquent plus. Il faudra procéder différemment pour simplifier l'expression algébrique.

5.0.2 – Opérations sur les expressions algébriques

Pour la majorité des concepts suivants, vous pouvez vous référer à la section complète de secondaire 3 (section 3.1).

• Additionner ou soustraire des expressions algébriques (Voir Secondaire 3, Section 3.1)
• Multiplier ou diviser des expressions algébriques (Voir Secondaire 3, Section 3.1)
• Distribution d'un facteur dans une parenthèse (Voir Secondaire 3, Section 3.1)
• Polynôme affecté par un exposant

Dans cette situation, il faut d'abord reconnaître qu'il n'est pas possible de simplement distribuer l'exposant dans la parenthèse. Il faut donc se souvenir de ce que signifie un exposant pour transformer l'expression et pouvoir la développer.

Voici un exemple :

Considérons l'expression algébrique suivante :

$(3x + 4)^2$

Comme mentionné plus haut, puisque cette parenthèse contient une addition (c'est la même chose pour une soustraction), il ne faut pas distribuer l'exposant aux deux termes! On doit plutôt transformer l'expression :

$(3x + 4)^2 \text{ deviendra } (3x + 4) \cdot (3x + 4)$

puisque l'exposant 2 signifie que l'expression affectée sera multipliée par elle-même une fois (elle apparaît deux fois).

On procède maintenant à la multiplication des deux binômes comme on le ferait pour n'importe quel autre polynôme.

$(3x + 4) \cdot (3x + 4) = 9x^2 + 12x + 12x + 16$

Il est maintenant possible de simplifier l'expression en associant les termes semblables.

$9x^2 + 12x + 12x + 16 = 9x^2 + 24x + 16$

5.0.3 – Factorisation

L'an passé, la seule technique de factorisation qui avait été vue était la mise en évidence simple (Sec 3 – Section 3.1). Comme son nom l'indique, il s'agit de la technique la plus simple pour factoriser une expression algébrique. Vous l'aurez sans doute deviné, il y a plusieurs autres techniques plus complexes à voir cette année. Il est donc important de bien maîtriser celle-ci avant de passer aux prochaines.

L'objectif de la mise en évidence simple est de réduire une expression algébrique en identifiant et en isolant un terme commun (idéalement le plus grand terme commun). Ceci permet d'obtenir une expression équivalente qui pourra être utilisée pour résoudre une situation potentielle.

Voici un exemple :

Considérons l'expression algébrique suivante :

$6x^2y + 15x^3 + 21xy^2$

1. On doit d'abord identifier le plus grand coefficient (le nombre) et le plus grand degré de chaque variable étant commun à chacun des termes de l'expression.

$6$, $15$ et $21$ sont tous divisibles par $3$. $x^2$, $x^3$ et $x$ ont $x$ en commun. Le $2^e$ terme n'ayant pas de variable $y$, il n'y a pas de $y$ commun aux trois termes.

$3x$ est donc le terme commun aux trois termes.

2. On divise chacun des termes par $3x$ et on place $3x$ en évidence devant l'expression.

$\frac{6x^2y + 15x^3 + 21xy^2}{3x} = 2xy + 5x^2 + 7y^2$

$3x(2xy + 5x^2 + 7y^2)$

3. On a maintenant réussi la mise en évidence simple!

$3x(2xy + 5x^2 + 7y^2)$

5.0.4 – Formules d'aires et de volume

Pour compléter les rappels, vous êtes invités à mettre à jour vos connaissances (et peut-être votre aide-mémoire) avec les formules d'aires et de volumes des solides.

Vous trouverez ces formules dans les sections 4.2 et 5.1 du cours de secondaire 3.

Les exercices de rappels pour cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 134, # 1, 3cdeh, 4, 5, 6 et 7.