Section 5.2 – Les techniques de factorisation

Jusqu'à maintenant, nous avons couvert trois des six techniques de factorisation à voir cette année : la mise en évidence simple ($3^e$ secondaire), le carré d'un binôme et la différence de deux carrés.

Dans cette section nous verrons donc les trois dernières techniques soit : la mise en évidence double, la technique du produit-somme et la complétion du carré.

Avant de débuter, nous répondrons à une des questions qui revient le plus souvent : à quoi ça sert la factorisation?!

5.2.1 – Le rôle de la factorisation

Comme nous en avons déjà parlé et comme vous l'avez déjà vécu, vous savez qu'on ne peut résoudre simplement une équation algébrique du $2^e$ degré comme la suivante :

$9x^2 = 24x - 16$

Dans cette expression, on ne parvient pas à isoler correctement une seule variable. C'est donc dire qu'on ne peut pas résoudre cette équation.

Par contre, si on parvient à amener un côté de l'équation égal à 0, les choses peuvent changer!

Voici un exemple pour vous aider à comprendre, cet exemple reprend aussi la technique du carré d'un binôme.

Considérons l'équation précédente :

$9x^2 = 24x - 16$

1. On transfère tous les termes du même côté pour « vider » un côté.

$9x^2 = 24x - 16 \text{ deviendra } 9x^2 - 24x + 16 = 0$

2. On cherche à factoriser l'expression algébrique pour obtenir deux facteurs.

$9x^2 - 24x + 16$ correspond au carré d'un binôme! Quel hasard!

$9x^2 - 24x + 16 = 0 \text{ deviendra } (3x - 4)^2 = 0$

3. Maintenant que l'expression algébrique est factorisée, il ne reste plus qu'à déterminer la (ou les) valeur(s) de $x$ pour que l'expression égale 0.

$(3x - 4)^2 = 0$

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x = 1{,}333$

4. On peut maintenant vérifier notre réponse en plaçant la valeur de $x$ dans l'expression de départ.

$9x^2 = 24x - 16$

$9(1{,}33)^2 = 24(1{,}33) - 16$

$16 = 32 - 16$

$16 = 16$

Nous avons réussi!

La factorisation nous permettra donc de résoudre des équations de degré 2, ce qui n'était pas possible avant. Il faut noter que, dans la majorité des situations, la résolution d'une expression algébrique de degré 2 produira deux réponses différentes.

5.2.2 – La mise en évidence double

La mise en évidence double, comme la mise en évidence simple, est relativement facile à appliquer. La logique est la même alors que la technique change légèrement.

Pour appliquer la mise en évidence double, il faut :

• Avoir une expression algébrique à quatre (4) termes. Dans le cas d'un trinôme, voir la technique du produit-somme.
• Associer (en déplaçant) les termes en paires ayant des facteurs communs.
• Pour chaque paire, effectuer une mise en évidence simple (qui devrait laisser les mêmes facteurs dans la parenthèse $(c \pm d)$).
• Associer le facteur de la première paire ($a$) et de la deuxième paire ($b$) pour former le deuxième facteur.
• La réponse devrait être sous la forme $(a \pm b)(c \pm d)$.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons le polynôme suivant :

$2x^2 + 4x - 8xy - 16y$

1. Avoir une expression algébrique à quatre (4) termes.

Ici, nous avons déjà une expression algébrique à quatre termes (un tétranôme pour les pros) qui ne peut pas être simplifiée.

2. Associer (en déplaçant) les termes en paires ayant des facteurs communs.

On remarque que le premier et le deuxième terme ont la variable $x$ en commun. Le troisième et le quatrième terme ont $y$ comme variable commune et les coefficients ont certainement quelques diviseurs communs. Les termes sont donc déjà organisés en paires logiques.

3. Pour chaque paire, effectuer une mise en évidence simple.

$\frac{2x^2 + 4x}{2x} = x + 2 \qquad \frac{-8xy - 16y}{-8y} = x + 2$

$2x(x + 2) \qquad -8y(x + 2)$

4. Associer le facteur de la première paire ($a$) et de la deuxième paire ($b$) pour former le deuxième facteur.

$(2x - 8y)(x + 2)$

Succès!

5.2.3 – La technique produit-somme

Essentiellement, la technique du produit-somme n'a qu'une utilité : transformer un trinôme en polynôme potentiel pour la mise en évidence double. Idéalement, ce trinôme serait un trinôme ne fonctionnant pas pour la technique du carré d'un binôme (trinôme carré parfait). La technique produit-somme est donc une séparation du terme central d'un trinôme en deux termes, suivie d'une mise en évidence double.

Pour y arriver, il faut :

• Avoir un trinôme qui ne se factorise pas par la technique carré d'un binôme.
• On cherche à remplacer le terme du milieu ($b$) par deux valeurs qui :
  • forment le produit des termes $a$ et $c$;
  • forment la somme du terme $b$ original.
• On peut maintenant procéder à la mise en évidence double.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la situation suivante :

$3x^2 + 13x + 10$

1. Avoir un trinôme qui ne se factorise pas par la technique carré d'un binôme.

Effectivement, ce trinôme ne se factorise pas par le carré d'un binôme. $3x^2$ et $10$ ne sont pas des termes carrés.

2. On cherche à séparer $13x$ en deux valeurs qui répondent aux critères du produit-somme.

Ici, le produit doit valoir $3 \cdot 10 = 30$. La somme doit valoir $13$. Voici nos options :

$1 \cdot 30 \rightarrow 31 \qquad 2 \cdot 15 \rightarrow 17 \qquad 3 \cdot 10 \rightarrow 13 \qquad 6 \cdot 5 \rightarrow 11$

On voit donc que la paire $3 \cdot 10$ est notre solution.

3. On peut maintenant procéder à la mise en évidence double.

$3x^2 + 13x + 10 \text{ deviendra } 3x^2 + 3x + 10x + 10$

$3x(x + 1) + 10(x + 1)$

$(3x + 10)(x + 1)$

5.2.4 – La complétion du carré

La complétion du carré est notre dernière technique de factorisation. C'est une technique à utiliser lorsque les autres ne fonctionnent pas. Elle permettra de factoriser plusieurs expressions algébriques difficiles mais elle regroupe plusieurs étapes et fait intervenir plusieurs techniques.

Le but de la complétion du carré est de créer un carré d'un binôme en ajoutant un terme (d'où le nom). Il faudra toutefois soustraire ce nouveau terme pour ne pas modifier la valeur de l'expression algébrique.

Une fois le nouveau terme ajouté, on pourra procéder à la factorisation du carré d'un binôme puis à la différence de deux carrés.

Voici les étapes à suivre pour faire la complétion du carré :

• Faire une mise en évidence simple pour que le facteur du premier terme soit 1 ($a = 1$).
• Ajouter et soustraire un terme équivalent à $(b/2)^2$.
• Avec les trois premiers termes ($ax^2 + bx + c$), faire la factorisation du carré d'un binôme.
• Avec le carré du binôme et le reste, faire la différence de deux carrés.
• Simplifier l'équation.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons l'équation suivante :

$2x^2 + 12x + 10$

Ce trinôme ne se factorise pas à l'aide des techniques suivantes :

• Carré d'un binôme
• Mise en évidence double
• Produit-somme

Il faut donc utiliser la complétion du carré.

1. Faire une mise en évidence simple pour obtenir 1 comme premier facteur ($a = 1$).

$2x^2 + 12x + 10 \text{ deviendra } 2(x^2 + 6x + 5)$

2. On ajoute et soustrait un terme équivalent à $(b/2)^2$.

$b = 6 \qquad \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$

$2(x^2 + 6x + 5) \text{ deviendra } 2(x^2 + 6x + 9 - 9 + 5)$

Les deux derniers termes peuvent être simplifiés à ce moment-ci :

$2(x^2 + 6x + 9 - 4)$

3. On effectue la factorisation par le carré d'un binôme avec les trois premiers termes.

$2(x^2 + 6x + 9 - 4) \text{ deviendra } 2((x + 3)^2 - 4)$

4. On peut maintenant faire la factorisation restante à l'aide de la différence de deux carrés.

$2((x + 3)^2 - 4) \text{ deviendra } 2((x + 3)^2 - (2)^2)$

$\text{deviendra } 2((x + 3) + 2)((x + 3) - 2)$

5. Il est finalement possible de simplifier les deux parenthèses pour présenter la réponse finale.

$2((x + 3) + 2)((x + 3) - 2) \text{ deviendra } 2(x + 5)(x + 1)$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 170, # 1, 3, 4acegi, 6acegi, 8acegikmo, 11aeik, 12acegi, 13, 15, 18, 22, 23 et 25.