Section 5.1 – Manipulations d'expressions algébriques

Dans cette section, il sera question de l'introduction aux nouvelles manipulations algébriques. Plus tard, nous verrons des techniques plus avancées (et plus compliquées) mais pour l'instant, nous nous en tiendrons à des concepts assez près de ceux vus dans le passé.

5.1.1 – Division d'un polynôme par un binôme

Lorsqu'on divise un polynôme par un monôme, les choses sont habituellement assez simples : on applique la division du monôme à chacun des membres du polynôme.

Ex :

$\frac{6x^3 - 4x^2y + 8x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} - \frac{4x^2y}{2x} + \frac{8x}{2x}$

$= 3x^2 - 2xy + 4$

Par contre, diviser un polynôme par un binôme n'est pas aussi simple. Pour y arriver, on devra dépoussiérer nos souvenirs du primaire et de la division « crochet ».

Rappel – Division crochet

La division crochet est une technique permettant de visualiser la division d'un nombre plus complexe.

$\begin{array}{r|l}430 & 12 \\\end{array}$

On valide alors « combien de fois 12 entre dans 430 ». Dans ce cas, 12 entre 35 fois dans 430.

$35 \times 12$ donne $420$. On soustrait donc $420$ à $430$.

$\begin{array}{r|l}430 & 12 \\ -420 & 35 \\\end{array}$

Puisque 12 est trop grand pour entrer dans 10, on dira alors que la division a un « reste ». Ce reste sera mis de côté dans la réponse.

$\begin{array}{r|l}430 & 12 \\ -420 & 35 \\ \hline 10 & \\\end{array}$

On obtient donc la réponse suivante :

$430 \div 12 = 35 + \frac{10}{12}$

Pour diviser un polynôme par un binôme, on procède un peu de la même manière. On regardera toutefois le polynôme dans la séquence suivante :

• Placer le dividende et le diviseur dans la division « crochet ».
• Diviser les deux premiers termes du polynôme par le binôme.
• Le premier ou les deux premiers termes éliminés, on progresse dans le polynôme vers la droite (toujours en divisant le binôme le plus à gauche).
• Pour terminer, on doit avoir soit divisé l'entièreté du polynôme ou obtenu un reste indivisible.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons la division suivante :

$(5x^2 - 18x + 10) \div (x - 3)$

1. On place les deux parties, le dividende (le polynôme qui est divisé) et le diviseur (le binôme qui divise), dans la division « crochet ».

$\begin{array}{r|l}5x^2 - 18x + 10 & x - 3 \\\end{array}$

2. On regarde d'abord la première paire de termes ($5x^2 - 18x$) pour la division.

On se demande alors par quel facteur multiplier $x$ pour obtenir $5x^2$ :

$5x \cdot x = 5x^2$

Ce sera donc notre début de division. La deuxième moitié du binôme suivra cette logique :

$5x \cdot -3 = -15x$

On obtient donc :

$\begin{array}{r|l}5x^2 - 18x + 10 & x - 3 \\ -(5x^2 - 15x) & 5x \\ \hline -3x + 10 & \\\end{array}$

3. Maintenant que le premier terme est éliminé, il ne reste qu'un binôme au polynôme de départ, on tentera donc de poursuivre la division en portant notre attention sur celui-ci.

On se demande à nouveau quel facteur doit-on appliquer à $x$ pour obtenir $-3x$. Cette fois, c'est plus facile.

$-3 \cdot x = -3x$

On applique le même facteur à la deuxième moitié du binôme.

$-3 \cdot -3 = 9$

$\begin{array}{r|l}5x^2 - 18x + 10 & x - 3 \\ -(5x^2 - 15x) & 5x - 3 \\ \hline -3x + 10 & \\ -(-3x + 9) & \\ \hline 1 & \\\end{array}$

Puisqu'il reste 1, nous ne pouvons pas poursuivre la division.

4. On écrit maintenant la réponse.

La réponse peut s'écrire de deux façons : une égalité :

$5x^2 - 18x + 10 = (x - 3)(5x - 3) + 1$

En divisant les deux côtés par $(x - 3)$, on obtient aussi la fraction réduite :

$(5x - 3) + \frac{1}{x - 3}$

5.1.2 – Expressions rationnelles équivalentes

Une expression rationnelle est une expression algébrique où le diviseur est un binôme ou un polynôme.

Voici quelques règles à suivre pour les expressions rationnelles.

1. Une expression rationnelle n'est valide que si le diviseur n'est pas égal à zéro.

Ex :

$\frac{3x + 4}{2x} \text{ est valide seulement si } x \neq 0$

$\frac{x + 4}{x - 1} \text{ est valide seulement si } x \neq 1$

2. On peut créer des expressions rationnelles équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur par des facteurs communs.

Ex :

$\frac{2y}{3x} = \frac{4xy}{6x^2} = \frac{4xy(x + 2)}{6x^2(x + 2)}$

3. On peut aussi réduire des expressions rationnelles en divisant le numérateur et le dénominateur par des facteurs communs.

Ex :

$\frac{2x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{2(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{2}{x}$

4. On peut additionner des expressions rationnelles seulement si elles ont des dénominateurs communs. Au besoin, il est possible d'« arranger » une fraction pour y arriver.

Ex :

$\frac{2}{x} + \frac{3}{xy} = \frac{2y}{xy} + \frac{3}{xy} = \frac{2y + 3}{xy}$

5. On peut multiplier des expressions rationnelles en multipliant leurs numérateurs ensemble et leurs dénominateurs. On tente ensuite de réduire cette expression (si possible).

Ex :

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^2 + x}{2} = \frac{x(x^2 + x)}{2(x + 1)} = \frac{x^2(x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{x^2}{2}$

6. On peut finalement diviser deux expressions rationnelles. Pour y arriver, on procède comme pour les autres types de fractions; on inverse la deuxième fraction pour obtenir une multiplication.

Ex :

$\frac{2y}{3x} \div \frac{5y + 4}{4x} = \frac{2y}{3x} \cdot \frac{4x}{5y + 4}$

5.1.3 – Identités algébriques remarquables

Les identités algébriques remarquables sont le début des nouveaux concepts de factorisation en algèbre. Elles sont des formes d'expressions algébriques qui sont très pratiques à pouvoir reconnaître rapidement puisqu'elles vous faciliteront lorsque viendra le temps de les factoriser.

Dans les deux cas suivants, les utilités remarquables peuvent servir à :

• Accélérer les calculs
• Factoriser un polynôme

5.1.3.1 – Carré d'un binôme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Voici un exemple d'une factorisation d'un trinôme grâce au carré d'un binôme :

Considérons le trinôme suivant :

$25x^2 + 30x + 9$

1. On valide d'abord qu'il s'agit bien d'un « carré d'un binôme ».

D'abord, le premier et le troisième terme sont-ils des carrés?

$25x^2 = (5x)^2 \qquad 9 = (3)^2$

On peut effectivement conclure que oui. On peut aussi conclure que $a = 5x$ et $b = 3$.

Ensuite, le deuxième terme correspond-il à $2ab$?

$2 \cdot 5x \cdot 3 = 30x$

On peut aussi conclure que oui.

2. On peut maintenant écrire l'expression algébrique factorisée.

Pour terminer, il reste seulement à valider le signe (+ ou -) dans l'expression. Puisque nous avons $+30x$, on conclut que le symbole sera positif.

$25x^2 + 30x + 9 = (5x + 3)^2$

5.1.3.2 – Différence de carrés

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Voici un autre exemple de factorisation avec l'identité de la différence de carrés :

Considérons l'expression suivante :

$16x^2 - 36$

1. On identifie la valeur de $a$ et $b$.

$a : 16x^2 = (4x)^2 \qquad b : 36 = (6)^2$

2. On peut maintenant factoriser l'expression!

$16x^2 - 36 = (4x + 6)(4x - 6)$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 156, # 1ace, 2ace, 3ace, 4ab, 6, 7ace, 8abf, 10, 11acegi, 12aceg, 13abf, 15, 18ace, 19, 22ace, 26, 29 et 30.