Section 5.3 – Formule quadratique et distance en deux points

5.3.1 – Distance entre deux points et factorisation

Au chapitre 4, le concept de la distance entre deux points a été introduit mais certains détails avaient été évités pour simplifier le processus. Dans cette section, nous retrouvons le concept et la formule de la distance entre deux points et nous verrons comment la factorisation peut être mise à l'œuvre dans ces contextes.

Rappel

La formule de la distance entre deux points dans le plan cartésien est :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Dans la grande majorité des situations que nous avions couvertes, le seul inconnu était la distance. Les questions étaient choisies ainsi puisque, lorsque l'inconnu est une coordonnée ($x$ ou $y$), il existe théoriquement deux solutions possibles.

Voici un exemple pour vous mettre en contexte :

Considérons la situation suivante : dans le plan cartésien, les points A et B (non visibles pour l'instant) sont séparés par une distance de 8 unités. On sait que la coordonnée de B est $(3, y)$.

On sait donc que le point B se situe quelque part sur la ligne rouge et qu'il se trouve à une distance de 8 unités de A. Si on représente toutes les coordonnées possibles d'un point situé à 8 unités de distance de A, on obtient l'image suivante :

On remarque alors qu'il existe deux solutions possibles! Les coordonnées $(3, 3)$ et $(3, -5)$ correspondent aux critères fixés au départ.

Comme vous le remarquez donc, ces situations de distance en deux points peuvent générer des situations à deux solutions, ce qui correspond à notre travail des dernières sections sur la factorisation. Ces situations peuvent aussi créer une seule solution ou encore aucune solution, nous reviendrons sur ces concepts plus tard.

Démarche

Pour résoudre une situation de distance entre deux points où une partie de la coordonnée d'un point est manquante, on procédera donc ainsi :

1. Si possible, tenter de visualiser la situation pour déterminer le nombre de solutions et leur approximation.
2. Dans la formule de la distance entre deux points, placer toutes les valeurs connues.
3. Simplifier au maximum l'équation afin d'obtenir une expression algébrique correspondant au modèle $ax^2 + bx + c = 0$.
4. À l'aide de la méthode de factorisation de votre choix, déterminer les solutions possibles.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la situation suivante : les points A et B sont situés à 11 unités l'un de l'autre. Les coordonnées du point A sont $(-4, 2)$. Les coordonnées du point B sont $(5, ?)$.

1. On tente de représenter la situation dans le plan cartésien.

Sans être parfaite, cette image nous permet de comprendre qu'il existe deux solutions à notre problème. L'une d'elles à environ $(5, 8{,}5)$. L'autre à environ $(5, -4{,}5)$.

2. On place toutes les informations connues dans la formule de distance.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$11 = \sqrt{(5 - -4)^2 + (y - 2)^2}$

3. On simplifie alors l'équation au maximum pour obtenir une expression $ax^2 + bx + c$.

$11 = \sqrt{(9)^2 + (y - 2)^2}$

Vous remarquez sans doute que la deuxième partie de la racine correspond au carré d'un binôme!

$11 = \sqrt{81 + y^2 - 4y + 4}$

$11 = \sqrt{y^2 - 4y + 85}$

$121 = y^2 - 4y + 85$

$0 = y^2 - 4y - 36$

4. On peut maintenant tenter de factoriser cette expression pour découvrir nos deux valeurs de $y$ possibles.

$0 = y^2 - 4y - 36$

À première vue, on pourrait tenter la technique produit-somme :

$P = -36 \qquad S = -4$

Les possibilités sont : $2$ et $-18$, $3$ et $-12$, $4$ et $-9$, $6$ et $-6$. Aucune de ces combinaisons ne donne une somme de $-4$. Le produit-somme ne fonctionne donc pas!

On doit donc se rabattre sur la complétion du carré :

$0 = y^2 - 4y + 4 - 4 - 36$

$0 = (y - 2)^2 - 40$

$0 = \left((y - 2) + \sqrt{40}\right)\left((y - 2) - \sqrt{40}\right)$

$0 = (y + 4{,}32)(y - 8{,}32)$

Nos deux solutions sont donc :

$y = -4{,}32 \qquad \text{et} \qquad y = 8{,}32$

Les deux coordonnées possibles sont donc $(5, -4{,}32)$ et $(5, 8{,}32)$.

Cela correspond bien à notre estimation du départ!

5.3.2 – Formule Quadratique

Maintenant que nous entrons dans le territoire des équations du second degré appliquées à des situations « réelles », la factorisation ne pourra pas toujours fonctionner.

Dans les cas où toutes vos techniques vous mènent à un cul-de-sac ou sont trop difficiles à appliquer (ex : lorsque l'équation $ax^2 + bx + c$ est composée de valeurs décimales), il existe un passe-partout pour obtenir une réponse à tout coup : la formule quadratique.

La formule quadratique est une formule spécialement faite pour déterminer les deux solutions possibles d'une équation $ax^2 + bx + c = 0$. Elle peut être utilisée sur les équations simples à résoudre ou complexes, elle fonctionne toujours (sauf qu'il n'existe pas de solution à l'équation).

La voici :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

On peut aussi la condenser ainsi :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Informations pratiques à propos de la formule quadratique :

• Si $b^2 - 4ac > 0$, il y a deux solutions à l'équation.
• Si $b^2 - 4ac = 0$, il y a une seule solution à l'équation.
• Si $b^2 - 4ac < 0$, il n'y a pas de solution à l'équation.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 243, # 8 à 12.