Section 3.2 – Droite de régression et coefficient de corrélation

Maintenant que nous avons vu comment estimer une droite de régression (ce que nous appelions « la meilleure droite possible » dans la section précédente) et un coefficient de corrélation (à l'aide de la technique de la boîte), nous allons voir comment déterminer précisément la règle d'une droite de régression ainsi qu'utiliser notre calculatrice graphique pour calculer le coefficient de corrélation.

3.2.1 – Droite de régression (technique Médiane-Médiane)

La première méthode utilisée pour déterminer la règle d'une droite de régression est d'utiliser la technique Médiane-Médiane. Pour utiliser cette technique, on doit suivre les étapes suivantes :

1. Classer les données en ordre croissant (selon les variables indépendantes, l'axe des $x$).
2. Séparer les données en trois groupes égaux. Si les données ne se séparent pas en trois groupes égaux, le groupe du centre est celui qui doit être ajusté à la hausse ou à la baisse (voir exemple).
3. Dans le 1er et le 3e groupe, identifier la médiane en $x$ et en $y$.
4. Utiliser les coordonnées de ces médianes pour déterminer la règle de la fonction de la droite de régression ($y = ax + b$).

Utilisons l'exemple suivant pour mieux comprendre :

Voici des données recueillies lors d'un sondage. On interrogeait les répondants sur leur âge et sur leur salaire annuel (en milliers de dollars) :

$(12, 0) \quad (28, 45) \quad (14, 0) \quad (16, 7) \quad (61, 77) \quad (21, 14) \quad (36, 71) \quad (23, 11) \quad (47, 68) \quad (17, 8{,}3) \quad (32, 37) \quad (13, 1{,}5) \quad (51, 63)$

On cherche à déterminer la droite de régression de cet ensemble de données à l'aide de la technique Médiane-Médiane.

1. On doit d'abord reclasser les données en ordre croissant des $x$ (ici, ce sera l'âge).

$(12, 0) \quad (13, 1{,}5) \quad (14, 0) \quad (16, 7) \quad (17, 8{,}3) \quad (21, 14) \quad (23, 11) \quad (28, 45) \quad (32, 37) \quad (36, 71) \quad (47, 68) \quad (51, 63) \quad (61, 77)$

Pour faciliter les choses, on disposera ces données dans une table de valeurs :

$x$	12	13	14	16	17	21	23	28	32	36	47	51	61
$y$	0	1,5	0	7	8,3	14	11	45	37	71	68	63	77

2. Séparer les données en trois groupes égaux.

Puisque nous disposons de 13 données, nous pouvons faire 3 groupes de 4 données ($3 \times 4 = 12$) mais nous avons une donnée de trop. Cette donnée sera placée dans le groupe du centre.

Groupe 1 (4 données) :

$x$	12	13	14	16
$y$	0	1,5	0	7

Groupe 2 (5 données) :

$x$	17	21	23	28	32
$y$	8,3	14	11	45	37

Groupe 3 (4 données) :

$x$	36	47	51	61
$y$	71	68	63	77

3. Dans le 1er et le 3e groupe, identifier la médiane en $x$ et en $y$.

Comme nous l'avons vu dans les années passées, la médiane se calcule :

$\text{Médiane} = \frac{n + 1}{2}$

où $n$ est le nombre de données. Donc dans le 1er et 3e groupe, nous disposons de 4 données, la médiane sera donc située à la :

$\frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5^{\text{e}} \text{ donnée}$

Rappel : lorsqu'une médiane est placée entre deux valeurs, on fait la moyenne de ces deux valeurs pour trouver la valeur de la médiane. En appliquant ce calcul aux 1er et 3e groupes, on obtient les médianes suivantes :

$M_1 (13{,}5 , 0{,}75) \qquad M_3 (49 , 65{,}5)$

4. Utiliser les coordonnées de ces médianes pour déterminer la règle de la fonction de la droite de régression.

À l'aide des coordonnées $(13{,}5 , 0{,}75)$ et $(49 , 65{,}5)$, on détermine le taux de variation et la valeur initiale de la fonction.

Rappel :

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Dans ce cas, on obtient la droite :

$y = 1{,}82x - 23{,}87$

On peut observer l'allure de notre droite de régression dans le graphique suivant :

Dans votre calculatrice graphique, une fois vos données entrées dans la section STAT, rendez-vous dans la section CALC et sélectionnez l'option MED-MED pour calculer la droite de régression à l'aide de la technique Médiane-Médiane.

3.2.2 – Droite de régression (technique de Mayer)

La technique de Mayer est très semblable à celle de la Médiane-Médiane et elle est peut-être même plus simple. Pour cette technique, il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Placer les données en ordre croissant selon l'axe des $x$.
2. Séparer les données en deux groupes égaux (laisser une donnée au centre dans le cas d'une distribution impaire).
3. Calculer la moyenne des $x$ et des $y$ de chaque moitié.
4. Déterminer l'équation de la droite de régression à l'aide des deux coordonnées obtenues ($y = ax + b$).

Utilisons l'exemple suivant pour mieux comprendre : nous reprendrons les données de l'exemple précédent :

$(12, 0) \quad (28, 45) \quad (14, 0) \quad (16, 7) \quad (61, 77) \quad (21, 14) \quad (36, 71) \quad (23, 11) \quad (47, 68) \quad (17, 8{,}3) \quad (32, 37) \quad (13, 1{,}5) \quad (51, 63)$

On cherche à déterminer la droite de régression de cet ensemble de données à l'aide de la technique de Mayer.

1. Placer les données en ordre croissant selon l'axe des $x$.

$x$	12	13	14	16	17	21	23	28	32	36	47	51	61
$y$	0	1,5	0	7	8,3	14	11	45	37	71	68	63	77

2. Séparer les données en deux groupes égaux (laisser une donnée au centre dans le cas d'une distribution impaire).

Puisque nous disposons de 13 données (un nombre impair), la donnée centrale $(23 , 11)$ est exclue et les deux groupes de 6 données restants sont formés ainsi :

Groupe 1 (6 données) :

$x$	12	13	14	16	17	21
$y$	0	1,5	0	7	8,3	14

Groupe 2 (6 données) :

$x$	28	32	36	47	51	61
$y$	45	37	71	68	63	77

3. Calculer la moyenne des $x$ et des $y$ de chaque moitié.

$\bar{x}_1 = \frac{12+13+14+16+17+21}{6} = 15{,}5 \qquad \bar{y}_1 = \frac{0+1{,}5+0+7+8{,}3+14}{6} = 5{,}13$

$\bar{x}_2 = \frac{28+32+36+47+51+61}{6} = 42{,}5 \qquad \bar{y}_2 = \frac{45+37+71+68+63+77}{6} = 60{,}2$

4. Déterminer l'équation de la droite de régression à l'aide des deux coordonnées obtenues.

Dans ce cas, on obtient la droite :

$y = 2{,}04x - 26{,}5$

Dans un plan cartésien, cette droite ressemble à ceci :

La calculatrice graphique n'a pas de programme de base pour calculer la droite de régression selon la technique de Mayer.

3.2.3 – Coefficient de corrélation

Différents outils technologiques peuvent aussi être utilisés pour calculer la droite de régression et le coefficient de corrélation. Certains de ces outils seront couverts en classe avec votre enseignant.