Section 6.2 – Recherche de la règle de la fonction quadratique

Maintenant que nous avons une bonne idée de l'utilisation des règles de la fonction quadratique, il faut mettre ces connaissances à profit. L'objectif de cette section est de découvrir les différents moyens de déterminer la règle d'une fonction quadratique mais aussi de voir comment le concept d'inéquation s'applique à ce genre de fonction.

6.2.1 – Forme factorisée

Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, une équation de type $ax^2 + bx + c$ peut être factorisée sous la forme $a(x - x_1)(x - x_2)$. Cette forme factorisée peut elle-même être utilisée pour représenter une fonction quadratique (c'est donc la $3^e$ forme proposée dans le cours). Comme vous le verrez, la forme factorisée est particulièrement pertinente dans un contexte particulier.

La forme factorisée existe en deux modèles différents, dépendant du contexte :

Si la fonction a deux zéros	Si la fonction a un seul zéro
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ représentent les zéros de la fonction	$y = a(x - x_1)^2$ où $x_1$ représente le zéro de la fonction

Pour passer de la forme générale à la forme factorisée... il faut factoriser l'équation! Ici, c'est l'utilisation de la formule quadratique qui nous permettra d'obtenir la forme factorisée.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante sous la forme générale :

$y = 1{,}2x^2 + 4x - 6$

1. On utilise la formule quadratique pour déterminer les valeurs de son/ses zéro(s) (si il y en a).

Ici, on sait que $a = 1{,}2$, $b = 4$ et $c = -6$.

La formule quadratique

$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

devient

$\frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1{,}2 \cdot -6}}{2 \cdot 1{,}2}$

devient

$\frac{-4 \pm \sqrt{44{,}8}}{2{,}4}$

Donc $x_1 = -4{,}45$ et $x_2 = 1{,}12$.

2. On peut maintenant écrire l'équation sous sa forme factorisée.

$y = 1{,}2(x + 4{,}45)(x - 1{,}12)$

Pour passer de la forme factorisée à la forme générale... il suffit de développer l'équation en multipliant les deux parenthèses ensemble et en distribuant le facteur $a$ (si il existe).

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante sous sa forme factorisée :

$y = 2(x - 4)(x + 3)$

On obtient la forme générale en développant l'expression algébrique :

$y = 2(x - 4)(x + 3)$

devient

$y = (2x - 8)(x + 3)$

devient

$y = 2x^2 + 6x - 8x - 24$

devient

$y = 2x^2 - 2x - 24$

C'est tout!

6.2.2 – Trouver la règle à partir du sommet

Pour déterminer la règle d'une fonction quadratique, il est dans notre intérêt de choisir la forme de la fonction qui nous aidera le plus. Dans une situation où le sommet de la fonction est connu, on utilisera la forme canonique puisque celle-ci « inclut » les coordonnées du sommet dans son équation.

Pour déterminer la règle d'une équation quadratique à partir du sommet, on doit :

1. Déterminer les coordonnées du sommet et d'un autre point.
2. Remplacer $h$ et $k$ de la forme canonique par les coordonnées du sommet.
3. Déterminer la valeur de $a$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées du $2^e$ point et en isolant la variable.
4. Écrire la formule complète.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante :

1. On détermine les coordonnées du sommet et d'un autre point.

Dans notre cas, ces coordonnées sont déjà données : Sommet $(3{,}5, 4)$, Autre point $(4{,}7, 7{,}6)$.

2. On remplace $h$ et $k$ par les coordonnées du sommet dans la forme canonique.

$y = a(x - h)^2 + k$

devient

$y = a(x - 3{,}5)^2 + 4$

3. On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point, puis on isole $a$.

$y = a(x - 3{,}5)^2 + 4$

devient

$7{,}6 = a(4{,}7 - 3{,}5)^2 + 4$

$7{,}6 = a(1{,}2)^2 + 4$

$7{,}6 = 1{,}44a + 4$

$3{,}6 = 1{,}44a$

$2{,}5 = a$

4. On peut maintenant écrire l'équation complète.

$y = 2{,}5(x - 3{,}5)^2 + 4$

Évidemment, vous êtes toujours invités à valider votre équation à l'aide de vos outils technologiques (calculatrice graphique ou Desmos).

6.2.3 – Trouver la règle à partir des zéros

Si nous avons utilisé la forme canonique lorsque nous connaissions le sommet, il faudra utiliser la forme factorisée lorsqu'on connaît les zéros.

Pour déterminer la règle d'une fonction quadratique grâce aux zéros, on procède ainsi :

• Déterminer les coordonnées des zéros de la fonction ainsi qu'un autre point.
• Remplacer $x_1$ et $x_2$ par les valeurs des zéros.
• Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point et isoler la variable $a$.
• Écrire la formule complète.

Voici un exemple pour vous aider. Considérons la fonction suivante :

1. On détermine les coordonnées des zéros et d'un autre point.

C'est déjà fait pour nous : zéros $x_1 = -2{,}581$, $x_2 = 0{,}581$; autre point $(0, -3)$.

2. On remplace les zéros dans la fonction.

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

devient

$y = a(x + 2{,}581)(x - 0{,}581)$

3. On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point puis on isole la variable $a$.

$y = a(x + 2{,}581)(x - 0{,}581)$

devient

$-3 = a(0 + 2{,}581)(0 - 0{,}581)$

$-3 = a \cdot 2{,}581 \cdot -0{,}581$

$-3 = -1{,}5a$

$2 = a$

4. On écrit la formule complète.

$y = 2(x + 2{,}581)(x - 0{,}581)$

6.2.4 – La quadratique sous forme d'inéquation

Tout comme les équations linéaires peuvent être transformées en inéquations, les fonctions quadratiques peuvent l'être aussi.

Les mêmes principes que ceux vus dans la section 4.3 s'appliquent. (Voir Section 4.3) Pour tracer une inéquation dans un plan cartésien, il faut tenir compte de trois informations importantes :

• La fonction qui compose l'inéquation. Par exemple, $y > 3x^2 + 2x + 4$ sera tracé comme la fonction $y = 3x^2 + 2x + 4$.
• Le symbole de l'inéquation. Les symboles $<$ et $>$ donneront une ligne pointillée; les symboles $\leq$ et $\geq$ donneront une ligne pleine.
• Le côté de l'inéquation. Pour $y < ax^2 + bx + c$ et $y \leq ax^2 + bx + c$, la zone indiquée sera sous la courbe. Pour $y > ax^2 + bx + c$ et $y \geq ax^2 + bx + c$, la zone indiquée sera au-dessus de la courbe.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 229, # 2, 4, 5, 6dfgh, 8, 9, 14 et 15; p. 217, # 1, 4ace, 7 et 10.