3.1 – La fonction exponentielle

La première fonction introduite dans le chapitre 3 en est une que vous connaissez déjà dans sa forme la plus simple, soit la fonction exponentielle. Cette fois-ci, nous la verrons dans sa forme complète, soit avec les paramètres a, b, c, h et k.

3.1.1 – Le modèle de base et le rôle des différents paramètres

La fonction exponentielle est utilisée dans une foule de domaines, autant en biologie, en démographie et en finance. Ses applications sont vastes, il est donc important de bien la maîtriser et la comprendre !

Le modèle de base de cette fonction est :

$y = a \cdot c^{b(x-h)} + k$

Vous êtes sans doute en mesure de voir les parallèles avec les fonctions vues au chapitre 2.

Toutefois, les lois des exposants nous permettent d'obtenir une fonction beaucoup plus simple et intuitive que la forme « complète ». Ainsi, on obtient le modèle :

$y = ac^{x} + k$

Dans ce modèle, la fonction passe toujours par le point $(0, a+k)$, on considère donc ce point comme la valeur initiale. Similairement à la fonction rationnelle, on obtient aussi une asymptote horizontale à $y = k$.

Voici un aperçu du rôle des différents paramètres sur l'allure générale de la fonction :

Paramètre	Valeur faible	Valeur forte	Valeur négative
$a$	$y = 1 \cdot 1{,}1^{x} + 0$	$y = 3 \cdot 1{,}1^{x} + 0$	$y = -2 \cdot 1{,}1^{x} + 0$
$c$	$y = 1 \cdot 1{,}1^{x} + 0$	$y = 1 \cdot 3^{x} + 0$	$y = 1 \cdot (-2)^{x} + 0$
$k$	$y = 1 \cdot 1{,}1^{x} + 1$	$y = 1 \cdot 1{,}1^{x} + 4$	$y = 1 \cdot 1{,}1^{x} - 3$

Rôle du paramètre $a$ — valeur faible, valeur forte, valeur négative :

Rôle du paramètre $c$ — valeur faible, valeur forte, valeur négative :

Rôle du paramètre $k$ — valeur faible, valeur forte, valeur négative :

3.1.2 – Tracer une fonction exponentielle

Pour tracer une fonction exponentielle, il n'y a pas de secret : il faut placer le plus de points possibles dans le graphique pour reproduire fidèlement la courbe de cette fonction. On choisira donc des valeurs réalistes de $x$ et on calcule le $y$ qui y est associé pour découvrir des points. On peut aussi se rappeler que la valeur initiale se situe à $(0, a+k)$ et qu'il existe une asymptote à $y = k$. L'asymptote est particulièrement pertinente pour tracer la fonction.

3.1.3 – Déterminer la règle d'une fonction exponentielle

Pour déterminer la règle d'une fonction exponentielle, il faut :

1. Déterminer la règle de l'asymptote horizontale (indique la valeur de $k$).
2. Déterminer les coordonnées de la valeur initiale et d'un autre point.
3. Déterminer la valeur de $a$ grâce à l'asymptote et à la valeur initiale.
4. Déterminer la valeur de $c$ grâce au $2^e$ point trouvé.
5. Écrire la règle de la fonction.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la fonction suivante :

1. On détermine d'abord la règle de l'asymptote horizontale

On obtient donc une asymptote à $y = -2$, on découvre donc que $k = -2$.

2. On identifie ensuite 2 points, dont la valeur initiale

3. On peut maintenant calculer la valeur de a

Comme nous le savons, la valeur initiale est située à $(0, a+k)$. Dans ce graphique, la coordonnée de la valeur initiale est $(0, 1)$ et $k = -2$. On peut donc déterminer la valeur de $a$ par isolation de variable :

$1 = a + k \text{ où } k = -2$

$1 = a - 2$

$1 = a - 2 \quad \begin{matrix} +2 & +2 \end{matrix}$

$3 = a$

4. On peut finalement déterminer la valeur de c

En remplaçant $x$ et $y$ dans la fonction connue, on pourra isoler $c$ et déterminer sa valeur. Pour l'instant, on connaît les informations suivantes : $y = 3 \cdot c^{x} - 2$ ainsi que le point $(1{,}5, 3{,}5)$.

On remplace $x$ et $y$ et on obtient :

$3{,}5 = 3 \cdot c^{1{,}5} - 2$

On peut donc isoler $c$ pour déterminer sa valeur :

$3{,}5 = 3 \cdot c^{1{,}5} - 2 \quad \begin{matrix} +2 & +2 \end{matrix}$

$\dfrac{5{,}5}{3} = \dfrac{3 \cdot c^{1{,}5}}{3}$

$1{,}833 = c^{1{,}5}$

Ici, on fait la racine « à la » $1{,}5$ pour isoler $c$ :

$\sqrt[1{,}5]{1{,}833} = \sqrt[1{,}5]{c^{1{,}5}}$

$c = 1{,}5$

5. On peut maintenant écrire la règle de la fonction

$y = 3 \cdot 1{,}5^{x} - 2$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision, Vol 1.

P. 173 #1(ace), 3, 5(acd), 6(a1 et b2), 7(a), 10, 11, 13, 15, 17 et 18.