5.1 – Introduction au cercle trigonométrique

Comme vous le verrez dans les sections suivantes, le concept du cercle trigonométrique est central au chapitre 5. Avec ce cercle, nous introduirons plusieurs nouveaux concepts. Par contre, vous serez aussi en mesure de constater que la majorité de ces concepts sont basés sur des principes que vous avez couverts dans les années précédentes. Peut-être vous faudra-t-il replonger dans des concepts préalables pour vous remettre à jour !

5.1.1 – Le radian

Possiblement le concept qui vous semblera le plus « nouveau » de cette section, le radian est en fait basé sur un concept mathématique avec lequel vous avez travaillé régulièrement depuis le secondaire 3 : $\pi$ ! Que représente donc le nombre pi ? Si vous vous souvenez bien, pi représente le nombre de fois la longueur du rayon d'un cercle qu'il faut pour faire le demi-tour de celui-ci, soit $3{,}14159\ldots$ fois. On peut donc le visualiser ainsi :

Dans notre cas, le radian représente l'angle au centre formé par la longueur du rayon sur le cercle ($\theta = 1$ radian).

Il est possible de convertir les angles de degrés en radian à l'aide de la formule suivante :

$\dfrac{n^o}{360^o} = \dfrac{\theta \text{ rad}}{2\pi \text{ rad}}$

Dans ce cas, $\theta$ rad représente l'angle en radian de l'angle recherché.

Par exemple, $90^o = 1{,}57$ radians. Cette mesure est logique puisque $180^o$ vaut $\pi$ rad ($3{,}14$ rad) : la moitié de $180^o$ vaut donc la moitié de $\pi$ rad, soit $1{,}57$ rad.

5.1.2 – Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est une représentation des coordonnées $(x, y)$ obtenues par la rotation d'un rayon de longueur 1 autour du point $(0, 0)$ d'un plan cartésien.

Dans tous les cas, les coordonnées $x$ sont obtenues par le cosinus de l'angle formé et les coordonnées $y$ sont obtenues par le sinus de l'angle formé. Dans le cercle trigonométrique, les angles sont en radian.

Le cercle trigonométrique comporte théoriquement une infinité de points ; par contre, seulement quelques-uns d'entre eux sont significatifs, les voici :

Dans le cercle, les points sont représentés par $P(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$.

5.1.3 – Les fonctions trigonométriques

À première vue, le cercle trigonométrique ne sert à rien. Par contre, lorsqu'on représente les valeurs de $x$ ou de $y$ en fonction de l'angle, on obtient des fonctions bien particulières, les fonctions trigonométriques.

1. La première fonction trigonométrique est la fonction sinus :

$y = \sin x$

où $x$ représente l'angle formé (en radians) et $y$ représente la valeur obtenue par le sinus de cet angle.

Comme vous le remarquez, les sommets et les zéros représentent des points significatifs du cercle trigonométrique (angle, valeur de $y$).

2. La deuxième fonction trigonométrique est la fonction cosinus :

$y = \cos x$

où $x$ représente l'angle formé (en radians) et $y$ représente la valeur obtenue par le cosinus de cet angle.

Ici encore, les sommets et les zéros représentent des points significatifs du cercle trigonométrique (c'est-à-dire l'angle et la valeur $x$ du point).

Il est intéressant de noter que les deux fonctions sont décalées dans le plan cartésien d'exactement $\pi/2$ rad. Tentez de réfléchir à la nature de ce décalage, c'est assez logique, vous verrez.

3. La dernière fonction trigonométrique n'est pas tirée du cercle trigonométrique, mais elle peut y être reliée assez facilement : il s'agit de la fonction tangente

$y = \tan x$

où $x$ représente l'angle formé (en radians) et $y$ représente la valeur obtenue par la tangente de cet angle.

Cette fois, les seuls points reconnaissables dans la fonction sont les valeurs entières de $\pi$.

Dans les trois cas, ces fonctions sont dites périodiques, c'est-à-dire qu'elles ont une section qui se répète périodiquement (à intervalles réguliers).

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 91 #1ace, 2ace, 5, 6, 8aceg, 9, 12abce, 13acdf, 15, 18, 20 et 22.