5.2 – Les fonctions trigonométriques

Comme mentionné dans la section 5.1, nous verrons dans ce chapitre trois fonctions trigonométriques, soit : sinus, cosinus et tangente. Dans cette section, il sera question de ces trois fonctions, de leurs différents paramètres, mais aussi de quelques dérivés de ces fonctions : les fonctions arcsin, arccos et arctan.

5.2.1 – Fonction sinus et cosinus

Comme indiqué dans la section 5.1, les fonctions sinus et cosinus sont pratiquement les mêmes fonctions ; elles sont simplement décalées de $\pi/2$, ce qui fait que leurs modèles et leur « look » sont pratiquement les mêmes.

Les modèles des règles de ces fonctions ne diffèrent pas beaucoup des modèles des autres fonctions vues cette année, comme vous pouvez le constater :

$y = a\sin b(x-h) + k$

$y = a\cos b(x-h) + k$

Puisque ces deux fonctions sont des fonctions périodiques, les caractéristiques qu'il sera possible d'identifier sont un peu particulières :

• L'amplitude de ces deux fonctions est donnée par la valeur absolue du paramètre $a$ ($\vert a \vert$) (la valeur absolue correspond à la valeur positive du nombre).
• La période ($p$) de ces deux fonctions est donnée par la règle $p = 2\pi \div \vert b \vert$.

Fonction sinus

Dans la fonction sinus, le point d'inflexion est donné par $(h, k)$.

Fonction cosinus

Dans la fonction cosinus, on identifie plutôt un extremum de la fonction à $(h, k \pm a)$.

Théoriquement, on peut aussi déterminer la position du point d'inflexion grâce à $(h - \tfrac{1}{4}p, k)$.

Ces deux options sont au choix ; les deux vous permettront de tracer les fonctions et de déterminer leur règle.

Dans cette situation, le point d'inflexion est à $(-3{,}78, 4)$ puisque le quart de la période est $\pi/4$, soit $0{,}78$.

5.2.2 – Déterminer les règles des fonctions sinus et cosinus

Pour déterminer la règle des fonctions sinus et cosinus, la démarche est relativement simple. Il suffit de recueillir les informations permettant de déterminer les paramètres $a$, $b$, $h$ et $k$, soit : l'amplitude, la période et le point d'inflexion. Pour y arriver, on suit la démarche suivante :

1. Identifier un cycle complet de la fonction (théoriquement, ce peut être n'importe lequel. Par contre, pour des fins de simplicité, on choisira celui le plus près de l'axe des $y$).
2. Mesurer graphiquement l'amplitude pour déterminer $a$.
3. Mesurer graphiquement la période pour déterminer $b$ ($p = 2\pi / b$).
4. Identifier la position d'un point d'inflexion (encore une fois, on choisit idéalement celui le plus près de l'axe des $y$) pour déterminer $h$ et $k$.
5. Écrire la règle complète.

Notez que lorsqu'on détermine la règle d'une fonction, on peut toujours utiliser un $a$ et un $b$ positifs.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons la fonction suivante :

1. On identifie d'abord un cycle complet

2. On mesure l'amplitude pour déterminer a

Dans ce cas, l'amplitude mesure 3, $a$ vaut donc 3.

3. On mesure la période pour déterminer b

Dans ce cas, la période mesure $3{,}14$ soit $\pi$. Grâce à la formule $p = 2\pi/b$, on calcule $b$ :

$p = 2\pi/b$

$\pi = 2\pi/b$

$b = 2\pi/\pi$

$b = 2$

4. On identifie la position du point d'inflexion pour déterminer h et k

Le point d'inflexion étant à $(2, -3)$, on sait que $h = 2$ et $k = -3$.

5. On écrit la règle de la fonction

Sachant que $a = 3$, $b = 2$, $h = 2$, $k = -3$, on peut déterminer que la règle de la fonction est :

$y = 3\sin 2(x-2) - 3$

Évidemment, vous êtes toujours invités à vérifier sur votre calculatrice graphique pour valider votre réponse.

5.2.3 – Fonction tangente

L'allure de la fonction tangente étant assez distinctive, il est facile de l'identifier. Par contre, son allure particulière rend notre travail un brin plus difficile lorsque vient le temps de la tracer ou de déterminer sa règle.

$y = a\tan b(x-h) + k$

Voici les grandes règles pour la fonction tangente :

• La fonction étant périodique (se répète à intervalles réguliers), les asymptotes de la fonction sont équidistantes (toutes séparées de la même distance). Cette distance correspond à la période de la fonction. Pour tan, $p = \pi / b$.
• Le point d'inflexion de la courbe est donné par les valeurs de $h$ et $k$.
• On ne peut pas « voir » la valeur de l'amplitude. Il faudra faire des manipulations algébriques pour déterminer la valeur de $a$.

Déterminer la règle de la fonction tangente

Pour déterminer la règle d'une fonction tan, on procède ainsi :

1. Mesurer la période de la fonction pour déterminer la valeur de $b$ ($p = \pi / b$).
2. Identifier les coordonnées d'un point d'inflexion et d'un autre point (peu importe lequel). Utiliser les coordonnées du point d'inflexion pour déterminer les valeurs de $h$ et $k$.
3. Dans le modèle de la règle, remplacer $b$, $h$, $k$ par les valeurs déterminées précédemment, ainsi que $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point identifié plus tôt. On peut maintenant isoler $a$ pour déterminer sa valeur.
4. Écrire la règle.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la fonction suivante :

1. On mesure la période de la fonction en mesurant l'écart entre les asymptotes (ou encore entre deux points d'inflexion)

Ici, puisque la période mesure $\pi$, on peut calculer $b$ :

$p = \pi / b$

$\pi = \pi / b$

$b = 1$

2. Identifier les coordonnées d'un point d'inflexion et d'un autre point. On cherche à déterminer les valeurs de h et k

Puisque le point d'inflexion que nous avons est à $(-2, 3)$ : $h = -2$, $k = 3$.

3. Dans la formule, remplacer b, h et k par les valeurs déterminées précédemment. Remplacer aussi x et y par les coordonnées d'un autre point. On pourra ainsi déterminer algébriquement la valeur de a

Nous connaissons les informations suivantes : $b = 1$, $h = -2$, $k = 3$, autre point $(0{,}498, 0)$.

De la règle $y = a\tan b(x-h) + k$, on obtient :

$0 = a\tan 1(0{,}498 + 2) + 3$

On peut maintenant simplifier puis isoler $a$ :

$0 = a\tan(2{,}498) + 3$

$0 = a \cdot (-0{,}75) + 3$

$-3 = -0{,}75a$

$4 = a$

4. On peut maintenant écrire la règle grâce aux informations connues

Nous connaissons les informations suivantes : $a = 4$, $b = 1$, $h = -2$, $k = 3$.

La règle est donc :

$y = 4\tan(x+2) + 3$

5.2.4 – Les fonctions Arc

Les derniers concepts à introduire dans cette section sont les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente.

D'abord, le terme « Arc » est équivalent à une autre notation avec laquelle vous êtes déjà familiers. En effet, arc sinus est équivalent à $\sin^{-1}$. Vous comprenez donc que la même logique s'applique pour cosinus et tangente.

Ensuite, les fonctions Arc correspondent aux réciproques des fonctions dont elles sont tirées. Par contre, vous verrez que ces réciproques ont quelques particularités.

Arc sinus et arc cosinus

Pour ces deux fonctions, la représentation graphique doit se limiter à un demi-cycle. En effet (comme nous l'avons vu en $3^e$ secondaire), une fonction ne peut pas avoir plus d'une valeur de $y$ pour une valeur de $x$. Des fonctions oscillantes comme arc sinus et arc cosinus en généreraient une infinité si on ne les limitait pas.

Une fonction ArcSin ou ArcCos aura donc un domaine correspondant au double de l'amplitude de sa fonction originelle, et une image correspondant à sa demi-période.

Voici deux exemples pour vous permettre de visualiser les fonctions et leurs réciproques.

Arc tangente

Comme pour les fonctions arcsin et arccos, la règle d'une seule valeur de $y$ pour une valeur de $x$ s'applique aussi pour la fonction arctan. Comme la fonction tangente est répétée horizontalement, la fonction arctan serait répétée verticalement, ce qui n'est pas possible. On représente donc une seule courbe dans la fonction arctan. Les asymptotes verticales de la fonction tan deviennent les asymptotes horizontales de la fonction arctan.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 107 #1acd, 2acegi, 3ace, 5, 6e (modèle sin ET modèle cos), 8ad, 9, 10, 12 et 14.