5.3 – Résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques

Résoudre une équation trigonométrique est un peu plus difficile que résoudre une équation algébrique « normale ». Lorsqu'on résout une équation algébrique de degré 1, on s'attend habituellement à une réponse. Lorsqu'on résout une équation algébrique de degré 2, on s'attend habituellement à 2 réponses. Par contre, lorsqu'on résout une équation trigonométrique, on s'attend à une infinité de réponses.

En effet, puisque les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont le domaine est l'ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$), une fonction trigonométrique pourra potentiellement passer une infinité de fois sur la même valeur de $y$ (voir exemple ci-dessous).

Pour résoudre une équation (ou une inéquation) trigonométrique, il faut :

1. Réduire l'expression trigonométrique jusqu'à la forme $\sin b(x-h) = z$.
2. En effectuant arcsin ($\sin^{-1}$), déterminer les valeurs du cercle trigonométrique qui vérifient la valeur d'arcsin.
3. Résoudre les deux équations pour déterminer la ou les valeurs de $x$.
4. Calculer la période de la fonction ($p = 2\pi/b$).
5. À chacune des valeurs de $x$, ajouter $p \cdot n$.

Notez que cette démarche est écrite pour sin mais fonctionne de manière identique pour cos et tan. Pour tan, n'oubliez pas de diviser sin par cos !

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons l'équation suivante :

$2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

On cherche à déterminer la ou les valeurs de $x$ qui permettent à la fonction de valoir $\sqrt{3}$.

1. On réduit l'expression jusqu'à la forme sin b(x – h) = z

$2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) + 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ devient}$

$2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = -\sqrt{3} \text{ devient}$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2. On effectue arcsin et on détermine les valeurs du cercle trigonométrique correspondantes

$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = \sin^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

On cherche alors les angles qui permettent d'obtenir $-\sqrt{3}/2$ à la position $y$ de la coordonnée (correspondant à sin).

On voit donc que les points $4\pi/3$ et $5\pi/3$ produisent les valeurs souhaitées.

3. On résout chacune des équations pour trouver les valeurs de x

On sait maintenant que $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = \dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$, donc :

$\left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = \dfrac{4\pi}{3} \qquad\qquad \left(\dfrac{\pi}{2}\right)(x-1) = \dfrac{5\pi}{3}$

$x - 1 = \dfrac{4\pi}{3} \div \dfrac{\pi}{2} \qquad\qquad x - 1 = \dfrac{5\pi}{3} \div \dfrac{\pi}{2}$

$x - 1 = \dfrac{8}{3} \qquad\qquad\qquad\quad x - 1 = \dfrac{10}{3}$

$x_1 = \dfrac{11}{3} \qquad\qquad\qquad\qquad x_2 = \dfrac{13}{3}$

4. On détermine la période de la fonction

$p = 2\pi/b$

$p = 2\pi/(\pi/2)$

$p = 4$

5. On ajoute p·n à chacune des solutions de l'équation pour mettre en évidence la périodicité de ces valeurs

$x_1 = \dfrac{11}{3} + 4n$

$x_2 = \dfrac{13}{3} + 4n$

Au besoin, on peut visualiser la fonction et les solutions :

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 118 #1abc, 2ace, 3abc, 4abdf, 5ad, 7ab, 10, 12, 15 et 20.