5.4 – Identités trigonométriques

Évidemment, la résolution des équations trigonométriques est relativement simple lorsqu'on cherche des éléments figurant directement sur le cercle trigonométrique. Par contre, que pouvez-vous faire si on vous demande de calculer avec précision la valeur d'un angle qui ne figure pas directement sur le cercle trigonométrique ?

Par exemple, grâce au cercle trigonométrique, on peut facilement répondre à la question suivante :

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \, ?$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Par contre, si la question est la suivante :

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \, ?$

On remarque que $5\pi/12$ n'est pas un angle « classique » du cercle trigonométrique.

Que peut-on faire dans ce cas ? On se sert alors des identités trigonométriques !

Les identités trigonométriques sont des équations trigonométriques qui sont toujours vraies. Ce sont donc des équations qui peuvent toujours être utilisées pour résoudre des problèmes. Dans les sections suivantes, nous en verrons quelques-unes.

5.4.1 – Sécante, cosécante et cotangente

La cosécante (cosec), la sécante (sec) et la cotangente (cot) sont les inverses multiplicatifs des sinus, cosinus et tangente.

Attention, on aurait tendance à associer cosec à cos, mais c'est l'inverse !

Donc :

$\text{cosec } x = \dfrac{1}{\sin x}$

$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$

$\cot x = \dfrac{1}{\tan x}$

Une autre manière de le voir est de la manière suivante :

$\sin\theta = \dfrac{opp}{hyp} \text{ donc } \text{cosec }\theta = \dfrac{hyp}{opp}$

À partir de ces trois identités trigonométriques et du théorème de Pythagore, il est possible de déduire les trois identités trigonométriques suivantes :

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

$1 + \cot^2 x = \text{cosec}^2 x$

Grâce à ces identités, on peut résoudre des équations trigonométriques plus complexes comme celle-ci :

Considérons l'équation suivante :

$\tan^2 x + 3\sec x + 3 = 0$

On cherche à déterminer les valeurs de $x$ qui vérifient l'équation lorsque $x \in [-2\pi, 2\pi]$.

1. On cherche d'abord à obtenir un seul rapport trigonométrique (pour pouvoir simplifier l'équation)

On utilisera comme point de départ l'identité trigonométrique $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

On peut donc remplacer $\tan^2 x$ dans notre équation de départ ainsi :

$\tan^2 x + 3\sec x + 3 = 0 \text{ devient}$

$\sec^2 x - 1 + 3\sec x + 3 = 0$

qu'on peut simplifier pour obtenir :

$\sec^2 x + 3\sec x + 2 = 0$

2. Ici, il faut utiliser notre imagination et dépoussiérer nos compétences de factorisation !

Grâce au produit-somme (voir section 5.2 du cours SN4), l'équation $\sec^2 x + 3\sec x + 2 = 0$ peut être transformée en :

$\sec^2 x + 2\sec x + \sec x + 2 = 0$

On applique alors la mise en évidence double pour obtenir :

$(\sec x + 1)(\sec x + 2) = 0$

3. Maintenant que notre expression est simplifiée et factorisée, on peut remplacer sec par un rapport disponible dans le cercle trigonométrique

Puisque $\sec x = 1/\cos x$ :

$(\sec x + 1)(\sec x + 2) = 0 \text{ devient}$

$\left(\dfrac{1}{\cos x} + 1\right) \cdot \left(\dfrac{1}{\cos x} + 2\right) = 0$

4. Il suffit maintenant de résoudre l'expression !

Dans ce cas, on souhaite identifier les valeurs de cos qui permettent d'annuler $+1$ et $+2$ dans les deux parenthèses. Dans ce cas, il y a trois réponses possibles à l'intérieur d'un cycle, soit : $2\pi/3$, $\pi$ et $4\pi/3$.

Puisqu'on demande de résoudre pour $x \in [-2\pi, 2\pi]$, l'ensemble des réponses possibles est :

$-\dfrac{4\pi}{3}, -\pi, -\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi, \dfrac{4\pi}{3}$

5.4.2 – Somme et différence de deux angles

Comme mentionné en introduction, certaines équations trigonométriques ne font pas directement référence à des points « classiques » du cercle trigonométrique.

$\cos(5\pi/12)$ en est un bon exemple.

Pour résoudre l'équation, on pourrait d'abord penser à décomposer $5\pi/12$ en deux fractions qui existent dans le cercle trigonométrique et à les additionner ou les soustraire.

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{9\pi}{12} - \dfrac{4\pi}{12}\right)$

On serait alors tentés de faire :

$\cos\dfrac{9\pi}{12} - \cos\dfrac{4\pi}{12}$

Malheureusement, ces deux expressions ne sont pas équivalentes :

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{9\pi}{12} - \dfrac{4\pi}{12}\right) \neq \cos\dfrac{9\pi}{12} - \cos\dfrac{4\pi}{12}$

Ces situations peuvent alors être résolues grâce aux formules suivantes :

Sinus de la somme de deux angles	Sinus de la différence de deux angles
$\sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \sin b \cdot \cos a$	$\sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b - \sin b \cdot \cos a$

Cosinus de la somme de deux angles	Cosinus de la différence de deux angles
$\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$	$\cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$

Tangente de la somme de deux angles	Tangente de la différence de deux angles
$\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}$	$\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}$

Ces équations nous permettent de résoudre des équations comme celle qui nous tracasse depuis le début !

Tentons de résoudre l'équation suivante : $\cos(5\pi/12)$

1. Comme nous l'avions déterminé plus tôt, on peut développer 5π/12 en termes figurant sur le cercle trigonométrique

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{9\pi}{12} - \dfrac{4\pi}{12}\right)$

2. On utilise alors les équations vues plus haut pour transformer notre équation

$\cos\left(\dfrac{9\pi}{12} - \dfrac{4\pi}{12}\right) \text{ devient}$

$\cos\left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}\right) \text{ devient}$

$\cos\dfrac{3\pi}{4} \cdot \cos\dfrac{4\pi}{12} + \sin\dfrac{3\pi}{4} \cdot \sin\dfrac{4\pi}{12}$

3. On peut alors remplacer les termes par des « vraies » valeurs

$\cos\dfrac{3\pi}{4} \cdot \cos\dfrac{\pi}{3} + \sin\dfrac{3\pi}{4} \cdot \sin\dfrac{\pi}{3} \text{ devient}$

$-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ devient}$

$-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{ devient}$

$0{,}259$

On a réussi !

$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 131 #1, 2, 3ad, 4bd, 5bc, 6ac, 7abef, 8adf, 10acef, 11bcef, 13 (seulement démo 1), 14beg, 16adgj, 18bcfh et 20.