4.3 – Combinaison linéaire et produit scalaire

Cette dernière section du chapitre sur les vecteurs propose deux dernières opérations, soit la combinaison linéaire de vecteurs et le produit scalaire de vecteurs. Ces deux concepts s'appuient largement sur des concepts préalables, ils ne sont donc pas particulièrement complexes si les bases sont bien comprises.

4.3.1 – Combinaison linéaire de vecteurs

La combinaison linéaire de vecteurs porte un nom assez évocateur. On cherche à combiner des vecteurs (par addition et multiplication scalaire) pour produire un vecteur ayant certaines caractéristiques ou certaines composantes.

Pour y arriver, on peut procéder de deux manières, la méthode graphique et la méthode par décomposition.

Méthode graphique

Cette méthode n'est pas très pratique pour déterminer les valeurs exactes mais permet de bien représenter le concept de la combinaison linéaire.

En utilisant deux ou plusieurs vecteurs qu'on combine, on cherche à obtenir un autre vecteur.

Ici, on cherche à obtenir le vecteur $W$ par une combinaison des vecteurs $U$ et $V$ :

En plaçant trois vecteurs $U$ et deux vecteurs $V$ bout à bout, on parvient à obtenir un résultat équivalent à $W$ :

Méthode par décomposition

On n'y échappe pas : une bonne manière de travailler avec des vecteurs, c'est en les décomposant en leurs composantes $x$ et $y$.

Pour effectuer une combinaison linéaire de vecteurs à l'aide de cette méthode, on doit connaître les composantes $x$ et $y$ de tous les vecteurs impliqués dans l'opération.

On cherche alors à déterminer combien de fois chacun des vecteurs à combiner doit être utilisé pour obtenir le vecteur final.

Essentiellement :

$w = k_1 \cdot u + k_2 \cdot v$

$k_1$ et $k_2$ étant les scalaires devant multiplier chacun des vecteurs pour obtenir $w$.

Évidemment, $w$, $u$ et $v$ peuvent être remplacés par n'importe quels vecteurs.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la situation suivante : on cherche à obtenir le vecteur $w (16, 26)$ en combinant les vecteurs $u (2, 5)$ et $v (3, 4)$.

1. On cherche les combinaisons de x qui permettent d'obtenir la composante 16 du vecteur w

$16 = k_1 \cdot 2 + k_2 \cdot 3$

On obtient les combinaisons suivantes : $8-0$, $5-2$ et $2-4$.

2. On cherche ensuite les combinaisons de y qui permettent d'obtenir la composante 26 du vecteur w

$26 = k_1 \cdot 5 + k_2 \cdot 4$

On obtient la combinaison : $2-4$.

3. Comme la combinaison $2-4$ se retrouve dans les deux solutions, ce sont les valeurs de $k_1$ et $k_2$ qui seront retenues

On peut maintenant vérifier la solution :

$w = k_1 \cdot u + k_2 \cdot v$

$(16, 26) = 2(2, 5) + 4(3, 4)$

$(16, 26) = (4, 10) + (12, 16)$

On obtient effectivement la bonne réponse !

Méthode algébrique

Évidemment, trouver des multiplicateurs communs a ses limites. Quand les nombres deviennent plus grands ou plus complexes, il faut se tourner vers l'algèbre pour régler notre problème. Pour utiliser la méthode algébrique, il faut réviser nos techniques de systèmes d'équations (voir Sec 3, Chapitre 3).

Pour y arriver, on suit les étapes suivantes :

1. Décomposer tous les vecteurs en leurs composantes x et y.
2. Écrire la combinaison linéaire comme fait dans l'autre méthode, selon le modèle $w = k_1 \cdot u + k_2 \cdot v$.
3. Développer l'expression algébrique.
4. Rassembler toutes les composantes x ensemble dans une équation, et toutes les composantes y dans une autre. Ceci forme notre système d'équations.
5. Résoudre le système d'équations.
6. Écrire la réponse.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

On cherche à obtenir le vecteur $w (3, 4)$ à partir des vecteurs $u (3, 1)$ et $v (2, 4)$.

1. Décomposer tous les vecteurs en leurs composantes x et y

Dans ce cas, l'étape 1 est déjà complétée pour nous !

2. Écrire la combinaison linéaire

$w = k_1 \cdot u + k_2 \cdot v \text{ devient}$

$(3, 4) = k_1(3, 1) + k_2(2, 4)$

3. Développer l'expression algébrique

On distribue les facteurs $k_1$ et $k_2$ dans les parenthèses :

$(3, 4) = k_1(3, 1) + k_2(2, 4) \text{ devient}$

$(3, 4) = (k_1 \cdot 3, k_1 \cdot 1) + (k_2 \cdot 2, k_2 \cdot 4)$

4. Rassembler les composantes x et y ensemble

$(3, 4) = (k_1 \cdot 3, k_1 \cdot 1) + (k_2 \cdot 2, k_2 \cdot 4) \text{ devient}$

$3 = k_1 \cdot 3 + k_2 \cdot 2$

$4 = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 4$

5. On obtient donc un système d'équations à deux variables qu'on peut maintenant résoudre

Ici, la méthode de la substitution fonctionne mieux selon moi.

$3 = k_1 \cdot 3 + k_2 \cdot 2$

$4 = k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 4$

On isole $k_1$ dans la deuxième équation pour obtenir :

$4 - k_2 \cdot 4 = k_1$

On remplace $k_1$ dans l'autre équation pour déterminer la valeur de $k_2$ :

$3 = k_1 \cdot 3 + k_2 \cdot 2$

$3 = (4 - k_2 \cdot 4) \cdot 3 + k_2 \cdot 2$

$3 = 12 - k_2 \cdot 12 + k_2 \cdot 2$

$3 = 12 - k_2 \cdot 10$

$-9 = k_2 \cdot (-10)$

$k_2 = 0{,}9$

On détermine maintenant la valeur de $k_1$ :

$4 - k_2 \cdot 4 = k_1$

$4 - 0{,}9 \cdot 4 = k_1$

$4 - 3{,}6 = k_1$

$0{,}4 = k_1$

6. Écrire la réponse

$(3, 4) = k_1(3, 1) + k_2(2, 4)$

$k_1 = 0{,}4 \qquad k_2 = 0{,}9 \text{ deviendra}$

$(3, 4) = 0{,}4(3, 1) + 0{,}9(2, 4)$

$\text{ou } w = 0{,}4u + 0{,}9v$

4.3.2 – Produit scalaire de deux vecteurs

Dans la section précédente, les scalaires ont été utilisés pour multiplier des vecteurs. Dans cette section, le but sera d'obtenir un scalaire par la multiplication de vecteurs. Notez que l'obtention d'un scalaire empêche sa représentation dans le plan cartésien : un scalaire est seulement une valeur numérique et ne peut pas être représenté dans un graphique.

Encore ici, deux méthodes sont possibles en fonction des informations connues. Voici les deux méthodes.

1. Si on dispose de la norme et de l'orientation des deux vecteurs, on pourra utiliser la formule suivante :

$u \cdot v = \vert u \vert \cdot \vert v \vert \cdot \cos\theta$

Dans cette formule :

• $\vert u \vert$ et $\vert v \vert$ représentent les normes des vecteurs $u$ et $v$
• $\theta$ représente l'angle formé par les deux vecteurs

2. Si on dispose des composantes des vecteurs à multiplier ensemble, on utilisera la méthode suivante (qui est passablement plus simple) :

$u \cdot v = x_u \cdot x_v + y_u \cdot y_v$

C'est ce qui termine le chapitre 4 pour nous !

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 48 #1afgi, 2aceg, 3ace, 4a (vous pouvez calquer les vecteurs dans votre cahier d'exercice ou utiliser un logiciel de traitement d'image), 5abch, 7ab, 8, 10, 11a et 5.