4.1 – Introduction aux vecteurs

L'an passé, dans le cours de sciences, nous avons introduit le concept de vecteurs (peut-être ne vous en souvenez-vous pas). Lorsqu'il était question de l'application d'une force, nous représentions cette force par une flèche d'une longueur donnée avec une orientation définie.

Voici une illustration tirée d'une de vos évaluations de l'an passé :

Sur cette image, on peut voir deux vecteurs. Ces deux flèches de longueurs différentes avec une orientation donnée sont des vecteurs. Dans ce cas précis, ce sont des vecteurs de force, mais des vecteurs peuvent représenter de multiples choses.

4.1.1 – Grandeur scalaire et grandeur vectorielle

Avec l'introduction des vecteurs, on introduit aussi un nouveau concept de grandeur : la grandeur vectorielle.

Dans la vie, vous êtes (sans le savoir) très familiers avec la grandeur scalaire. Une grandeur scalaire est la taille ou la valeur de quelque chose qui peut être entièrement définie par un nombre. Par exemple, 4$ est une grandeur scalaire. 8 minutes est une grandeur scalaire.

Par contre, certains concepts ne peuvent pas être définis par le nombre seulement. La force appliquée à un objet dépend aussi de l'orientation qu'on donne à cette force (nous avons abordé le concept de force efficace l'an passé). La vitesse d'un objet par rapport à un autre est aussi dépendante de l'orientation de l'objet qui se déplace. J'ai beau me déplacer très vite en voiture, si je ne vais pas dans la bonne direction, je n'arriverai pas à ma destination !

Donc :

• Grandeur scalaire : grandeur entièrement définie par un nombre
• Grandeur vectorielle : grandeur définie par un nombre et une orientation

4.1.2 – L'anatomie d'un vecteur

Un vecteur permet de représenter simultanément une grandeur, une direction et un sens. La combinaison de la direction et du sens donne l'orientation à un vecteur.

Ex : Ces deux vecteurs sont de même direction, de même sens mais de grandeurs différentes.

Ex : Ces deux vecteurs sont de mêmes grandeurs et de même direction mais pas de même sens.

Ex : Ces deux vecteurs sont de mêmes grandeurs mais pas de même orientation.

Un vecteur peut être désigné de deux manières :

• Une lettre minuscule surmontée d'une flèche
• Deux lettres majuscules surmontées d'une flèche. La première lettre correspond à l'origine du vecteur et la deuxième à son extrémité.

La grandeur d'un vecteur (aussi appelée sa norme) est la valeur de ce vecteur. Dans un graphique, la grandeur d'un vecteur est proportionnelle à la longueur de la flèche qui la représente.

Ex : Un vecteur de grandeur 20 sera deux fois plus long qu'un autre vecteur de grandeur 40.

L'orientation d'un vecteur peut être définie de deux manières :

• La position de son extrémité par rapport à son origine (les coordonnées de son extrémité par rapport à son origine).
• L'angle que le vecteur fait par rapport à l'axe $x$ positif d'un plan cartésien. On mesure l'angle dans le sens anti-horaire.

On peut finalement décomposer un vecteur en ses composantes $x$ et $y$ dans un plan cartésien (ce qui est essentiel pour pouvoir combiner des vecteurs).

Pour y arriver, on peut calculer $(x_2 - x_1)$ et $(y_2 - y_1)$ entre l'origine et l'extrémité, ou utiliser un calcul trigonométrique.

4.1.3 – Projection orthogonale d'un vecteur

Lorsqu'il est question de vecteurs, le terme « orthogonal » fait référence à une composante d'un vecteur qui est perpendiculaire à un autre vecteur.

La projection orthogonale d'un vecteur sur un autre est donc la projection de la composante perpendiculaire d'un vecteur par rapport à l'autre. On peut aussi l'imaginer comme l'ombre d'un vecteur sur un autre si la source de lumière était perpendiculaire au vecteur de référence.

Par le passé, nous avons vu la projection orthogonale dans un autre contexte, celui du dessin 3D. La projection orthogonale d'un objet en 3D est donc son « ombre » par rapport à une surface plane.

1. Méthode du calcul

Pour calculer la projection orthogonale d'un vecteur, on utilise la formule suivante :

$\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\Vert\vec{v}\Vert} \cdot \vec{v}$

Ici, $u_v$ représente la projection orthogonale du vecteur $u$ sur le vecteur $v$.

La formule semble complexe mais lorsqu'on comprend comment l'utiliser, elle est assez simple.

Voici un exemple pour mieux comprendre son application :

Considérons la situation suivante :

1. D'abord, on identifie les composantes x et y des deux vecteurs u et v

On voit donc que le vecteur $u$ a les composantes $(2, 2)$ alors que $v$ a les composantes $(4, 1)$.

2. Pour multiplier des vecteurs (ce qu'on appelle le produit scalaire), on doit multiplier les composantes x ensemble, les composantes y ensemble et ensuite additionner les deux produits

Dans notre cas, $u \cdot v$ donnera :

$u \cdot v = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 8 + 2 = 10$

3. Pour faire le carré d'un vecteur, on doit suivre la démarche suivante

$\Vert\vec{v}\Vert^2 = (x)^2 + (y)^2$

Dans notre cas, on obtiendra la réponse suivante :

$\Vert\vec{v}\Vert^2 = (4)^2 + (1)^2$

$\Vert\vec{v}\Vert^2 = 16 + 1$

$\Vert\vec{v}\Vert^2 = 17$

4. On sait maintenant comment remplir la formule ! Allons-y

$\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\Vert\vec{v}\Vert} \cdot \vec{v} \text{ deviendra}$

$\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{10}{17} \cdot (4, 1)$

$\vec{u}_{\vec{v}} = 0{,}6 \cdot (4, 1)$

$\vec{u}_{\vec{v}} = (2{,}4, 0{,}6)$

5. On peut maintenant dessiner ou placer la projection sur le graphique

2. Méthode de la rotation

Une autre technique pour faire la projection orthogonale d'un vecteur est d'appliquer ce que j'appelle la technique de la rotation.

Pour y arriver, on doit :

• Connaître les orientations des deux vecteurs impliqués (les deux angles).
• Ensuite, faire une rotation de notre système de manière à amener notre vecteur de référence à un angle de $0^o$.
• Il suffit maintenant de calculer la composante $x$ du vecteur à projeter pour connaître la projection orthogonale du vecteur.
• On peut « annuler » la rotation pour retrouver l'orientation initiale du vecteur.

Voici un exemple pour mieux comprendre :

Considérons la situation suivante :

1. Ici, on connaît déjà toutes les informations nécessaires pour appliquer la technique

Le vecteur $u$ a une orientation de $80^o$ et une grandeur de 28 unités. Le vecteur $v$ a une orientation de $50^o$ et une grandeur de 40 unités.

2. On effectue une rotation de $50^o$ dans le sens horaire pour amener le vecteur v à un angle de $0^o$

3. On peut maintenant calculer la composante x du vecteur u pour connaître la projection $u_v$

On utilisera CAH du SOHCAHTOA dans ce cas.

$\cos 30 = \dfrac{x}{28}$

$28 \cdot \cos 30 = x$

$24{,}25 = x$

4. En « annulant » la rotation qui nous a permis de simplifier la situation, on pourra retrouver la projection orthogonale dans son contexte initial

Le vecteur $u_v$ a donc une grandeur de $24{,}254$ unités et une orientation de $50^o$.

Cas particuliers de projections orthogonales :

• Angle aigu (projection orthogonale positive)
• Angle obtus (projection orthogonale négative)
• Angle droit (projection orthogonale nulle)

4.1.4 – Relations entre les vecteurs

Équipollents — Deux vecteurs qui ont toutes les mêmes caractéristiques (grandeur, direction, sens) sont dits équipollents. Essentiellement, ce sont les mêmes vecteurs.

Opposés — Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même grandeur et la même direction mais sont de sens opposés. On peut le voir comme deux vecteurs qui s'annuleraient l'un l'autre.

Colinéaires — Deux vecteurs parallèles sont dits colinéaires (même direction).

Orthogonaux — Deux vecteurs perpendiculaires l'un par rapport à l'autre sont dits orthogonaux.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 23 #1, 2, 3, 4aceg, 5acegik, 8, 9a, 10, 13, 14ad, 15, 16c, 17 et 20.