4.2 – Opérations sur les vecteurs

Jusqu'à maintenant, nous avons traité les vecteurs comme des concepts individuels ; ils étaient parfois seuls, parfois mis en relation avec un autre mais jamais ils n'interagissaient.

Dans cette section, nous verrons comment il est possible de faire interagir plusieurs vecteurs ensemble, mais aussi comment il est possible de modifier des vecteurs.

4.2.1 – Addition et soustraction de vecteurs

Plusieurs situations de la vie réelle font interagir des vecteurs ensemble :

• Un vent de côté interagit avec votre trajectoire de vélo pour vous donner une nouvelle direction.
• L'aide d'un ami pour pousser un meuble.
• La gravité qui s'oppose à vous lorsque vous faites l'ascension d'une montagne.

Dans cette section, nous verrons les différents moyens de combiner des vecteurs par addition et soustraction.

Mais d'abord, nous débuterons par une note importante qui sera utile pour toute la section : le concept de soustraction de vecteur ou de vecteur négatif.

Soustraction de vecteurs

Lorsque nous faisons la soustraction des vecteurs, il est parfois plus utile de voir la situation comme l'addition d'un vecteur opposé.

Ici, la soustraction des vecteurs $b$ et $a$ ($b - a$) est équivalente à l'addition de $b$ et du vecteur opposé à $a$ ($b + -a$). Ceci peut sembler inutile mais vous en comprendrez l'utilité dans la prochaine technique.

Méthode graphique

Pour additionner des vecteurs par la méthode graphique, il suffit de placer les différents vecteurs impliqués bout à bout. L'origine du premier vecteur et l'extrémité du dernier vecteur formeront alors les deux bouts du vecteur somme.

La somme $a + b + c$ donnera $a + b + c = s$.

Méthode trigonométrique

La deuxième manière de calculer la somme de vecteurs est d'utiliser des méthodes trigonométriques. La méthode principale pour y arriver sera la loi des cosinus.

Encore une fois, il est possible de consulter la section 2.2 du cours SN4 pour réviser cette matière.

Pour appliquer la loi des cosinus dans l'addition de vecteurs, vous devez disposer des informations suivantes :

• La grandeur (ou la norme) des deux vecteurs.
• L'angle formé par la jonction des deux vecteurs.

À l'aide de cette méthode, vous pourrez trouver la longueur du vecteur somme. Il sera ensuite possible d'utiliser des techniques plus simples (loi des sinus) pour déterminer son orientation.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la somme des vecteurs $a$ et $b$.

1. D'abord, on doit placer les vecteurs bout à bout (ou au moins le visualiser). On cherche à déterminer l'angle qu'ils forment ensemble

Pour y arriver, les concepts de droites parallèles, d'angles alternes-internes et alternes-externes sont souvent utiles.

2. On peut maintenant déterminer la longueur du vecteur somme grâce à la loi des cosinus

$s^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos S$

Les variables de la formule ici sont légèrement modifiées pour faciliter la compréhension.

$s^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos S \text{ deviendra}$

$s^2 = 13^2 + 20^2 - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \cos 105$

$s^2 = 169 + 400 - (-134{,}59)$

$s^2 = 169 + 400 + 134{,}59$

$s^2 = 703{,}59$

$s = 26{,}53$

3. Il reste maintenant à déterminer l'orientation de ce vecteur. Pour y arriver, on doit disposer d'un autre angle. On utilisera la loi des sinus

Voici nos nouvelles informations connues :

Si on peut déterminer l'angle formé entre $s$ et $a$, nous serons en mesure de déterminer l'orientation de $s$. On utilise donc la loi des sinus :

$\dfrac{26{,}53}{\sin 105^o} = \dfrac{20}{\sin\, ?}$

L'angle est donc de $46{,}73^o$.

Par soustraction, on déduit que l'angle de notre vecteur $s$ est de $13{,}27^o$.

Méthode de la décomposition des vecteurs

La méthode de la décomposition des vecteurs est sans doute la plus simple. Dans cette technique, on doit disposer des composantes $x$ et $y$ de tous les vecteurs additionnés (peu importe leur nombre). Ensuite, il suffit de faire la somme des $x$, ce qui donnera la composante $x$ du vecteur somme, et la somme des $y$, ce qui donnera la composante $y$ du vecteur somme. Le tour est joué !

Voici un exemple pour vous illustrer la situation :

Considérons la somme des vecteurs de l'exemple précédent :

1. On décompose les vecteurs en composantes x et y grâce au SOHCAHTOA

2. On peut maintenant additionner les composantes x et y des deux vecteurs

$x_s = x_a + x_b + x_c + \cdots$

$y_s = y_a + y_b + y_c + \cdots$

$x_s = 6{,}5 + 19{,}32 = 25{,}82$

$y_s = 11{,}25 + (-5{,}18) = 6{,}07$

On connaît donc les composantes du vecteur $s$ ! C'est si facile ! Au besoin, on peut convertir ces informations pour connaître la grandeur et l'orientation du vecteur.

4.2.2 – Multiplication de vecteurs par un scalaire (un nombre sans orientation)

Comme vous le verrez dans les prochaines secondes, la multiplication de vecteurs par des scalaires est très simple.

On peut procéder des deux manières suivantes.

1. Si on connaît la grandeur et l'orientation du vecteur, on multiplie la grandeur du vecteur par le scalaire et l'orientation reste la même

2. Si on connaît les composantes x et y du vecteur, on multiplie chacune de ces composantes par le scalaire. Le vecteur conservera son orientation car la multiplication a conservé les mêmes proportions entre x et y

C'est tout !

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 37 #1abce, 3ac, 4adg, 6ace, 9, 12, 14, 15 et 16.