3.2 – La fonction logarithmique

Une des questions qui revient souvent lorsqu'on travaille avec les exposants et la fonction exponentielle est : comment peut-on calculer la valeur de l'exposant lorsqu'on connaît la base et la puissance (la réponse de l'exposant) ? La réponse à cette question est : en faisant le logarithme de cette base !

Comme nous le verrons dans cette section, le logarithme est une sorte d'opération inverse de l'exposant, mais c'est aussi la réciproque de la fonction exponentielle dans un graphique. Les deux concepts sont donc étroitement liés.

3.2.1 – Le logarithme

Pour passer de la forme d'écriture d'un exposant à son logarithme correspondant, on peut se fier à la correspondance suivante :

Il faut simplement s'assurer que :

• la puissance ($m$) n'est pas nulle ($m \neq 0$)
• la base est supérieure à 0 ($c > 0$)
• la base est différente de 1 ($c \neq 1$)

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons l'expression algébrique suivante : $55{,}9 = 5^{x}$

Comme vous le remarquez, $55{,}9$ n'est pas un multiple habituel de 5. Cette réponse (puissance) n'a donc pas été obtenue par l'utilisation d'un exposant entier. On ne peut donc pas procéder par essai-erreur.

1. On utilise l'expression logarithmique pour déterminer la valeur de l'exposant recherché

$55{,}9 = 5^{x}$ deviendra $x = \log_{5} 55{,}9$

2. Maintenant que nous connaissons l'expression logarithmique dont nous avons besoin, on peut maintenant utiliser notre calculatrice

Comme nous le verrons plus loin, le logarithme « de base » est le logarithme en base 10. C'est aussi le seul logarithme inscrit dans votre calculatrice (à part le logarithme naturel, voir plus loin). On doit donc utiliser les propriétés des logarithmes pour transformer notre expression de départ ainsi :

$x = \log_{5} 55{,}9 \text{ deviendra } x = \dfrac{\log 55{,}9}{\log 5}$

Ainsi, on obtient que $x = 2{,}5$.

3. On peut vérifier notre réponse en revenant à la forme exponentielle

$5^{2{,}5} = \, ?$

$5^{2{,}5} = 55{,}9$

Ça fonctionne !

3.2.2 – Logarithme décimal et logarithme népérien

Les deux logarithmes les plus utilisés sont le logarithme décimal (logarithme en base 10) et le logarithme népérien (aussi appelé logarithme naturel).

Logarithme décimal

Le logarithme décimal est souvent utilisé pour obtenir des valeurs en notation scientifique. La base 10 représente les « sauts » de 10 pour chaque unité d'un nombre. Une autre utilisation fréquente du logarithme décimal est l'échelle du pH (qui est une échelle logarithmique décimale).

Ex : $10^{3} = 1000$

$10^{2{,}8} = 630{,}95$

Sur la calculatrice, le logarithme décimal ($\log_{10}$) est noté directement $\log$.

Logarithme népérien

Le logarithme népérien ou logarithme naturel utilise le nombre d'Euler ($e$) comme base.

$e$ a une valeur théorique d'environ $2{,}7183$ (il s'agit d'un nombre irrationnel comme $\pi$).

Pour votre curiosité, on obtient $e$ ainsi :

$e = 1 + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3} + \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \cdots$

Sur la calculatrice, le logarithme naturel se note $\ln$.

3.2.3 – La fonction logarithmique

Dans sa forme complète, la fonction logarithmique se note ainsi :

$y = a \log_{c} b(x - h) + k$

Toutefois, des manipulations algébriques (que je vous épargne) permettent d'obtenir une forme plus simple pour cette fonction, soit :

$y = \log_{c} b(x - h)$

Puisque le logarithme est étroitement lié à la notation exponentielle, la fonction logarithme est aussi étroitement liée à la fonction exponentielle. En fait, la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle associée.

On peut bien le comprendre dans cette image :

Un peu à la manière de la fonction exponentielle, la fonction logarithmique a une asymptote. Cette asymptote est toutefois verticale. La fonction associée à cette asymptote est $x = h$. Attention, $h$ est noté $-h$ dans l'équation, il faut donc inverser le signe !

La fonction passe aussi par la coordonnée $\left(\dfrac{1}{b} + h, 0\right)$. Au contraire de l'ordonnée à l'origine habituelle, ce point correspond à l'abscisse à l'origine.

Pour tracer une fonction logarithmique, vous pourrez utiliser cette abscisse à l'origine, l'asymptote verticale ainsi que quelques points à droite de l'abscisse à l'origine.

3.2.4 – Déterminer la règle d'une fonction logarithmique

Pour déterminer la règle d'une fonction logarithmique, vous devez :

1. Déterminer la règle de l'asymptote verticale (indique la valeur de $h$).
2. Déterminer les coordonnées de l'abscisse à l'origine et d'un autre point.
3. Déterminer la valeur de $b$ grâce à l'asymptote et à l'abscisse à l'origine.
4. Déterminer la valeur de $c$ grâce au $2^e$ point trouvé.
5. Écrire la règle de la fonction.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension :

Considérons la fonction suivante :

1. On détermine d'abord la fonction de l'asymptote verticale pour obtenir la valeur de h

On obtient donc que $h = 3$.

2. On identifie les coordonnées de l'abscisse à l'origine ainsi qu'un autre point

3. Puisque l'abscisse à l'origine correspond à $\left(\dfrac{1}{b} + h, 0\right)$, et qu'on connaît h, il est possible de déterminer la valeur de b

Abscisse à l'origine : $(3{,}25, 0)$

$h : -3$

$\dfrac{1}{b} + h = 3{,}25$

$\dfrac{1}{b} + 3 = 3{,}25$

$\dfrac{1}{b} = 0{,}25$

$b = 4$

4. On cherche maintenant à remplacer x et y par les coordonnées du 2ᵉ point trouvé dans le but de déterminer c

De la fonction $y = \log_{c} b(x-h)$, on sait que $b = 4$ et $h = 3$. On obtient donc $y = \log_{c} 4(x-3)$.

On connaît aussi le point $(4, 2)$. On obtient donc :

$2 = \log_{c} 4(4-3)$

On simplifie et transforme notre logarithme ainsi :

$2 = \log_{c} 4(4-3)$

$2 = \log_{c} 4(1)$

$2 = \log_{c} 4$

À ce point-ci, on passe de la forme d'écriture logarithmique à exponentielle pour se permettre de trouver $c$.

$2 = \log_{c} 4 \text{ devient } c^{2} = 4$

$c^{2} = 4$

$c = 2$

5. On peut maintenant écrire la règle !

$y = \log_{2} 4(x-3)$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1.

p. 184 #1(aceg), 2(bdfh), 3(aceg), 4(bdfh), 5(ad), 7(d), 8(e), 9(ace), 10(pour la $3^e$ paire seulement), 11, 12(acf), 14(a), 18, 19 et 20.