3.3 – Résolution de situations exponentielles et logarithmiques

Au delà de la fonction exponentielle et logarithmique (que nous avons utilisées principalement dans leur forme simplifiée), certaines situations appellent à l'utilisation de formes plus complexes de ces fonctions. Qui dit forme plus complexe dit aussi résolution plus complexe. Dans cette section, nous verrons des moyens de manipuler, simplifier et résoudre ces expressions algébriques.

Avant de débuter, il est important de garder en tête nos équivalences entre les expressions exponentielles et logarithmiques :

Nous irons même plus loin que cette équivalence de base dans la prochaine section !

3.3.1 – Équivalences exponentielles et logarithmiques (notions avancées)

D'autres situations plus complexes de logarithmes ou d'exposants demandent des moyens différents de manipuler les expressions. Voici une série de variations sur les expressions logarithmiques et leurs équivalents exponentielles (et vice-versa).

Position du a dans l'expression logarithmique

Dans la fonction logarithmique complète $y = a \log_{c} b(x-h) + k$, le $a$ peut être déplacé au besoin :

$a \log_{c} x = \log_{c} x^{a}$

Par exemple :

$3{,}5 \log_{2} 16 = \log_{2} 16^{3{,}5}$

Position du h dans les expressions logarithmique et exponentielle

Pour cette inversion, il faut garder en tête que le $h$ est une valeur négative dans les expressions !

Pour passer de la forme logarithmique à exponentielle lorsqu'un $h$ est en place, on procède ainsi :

$y = \log(x - 2) \text{ deviendra } y = 10^{x} + 2$

Vous remarquez donc que le $h$ de la fonction logarithmique devient le $k$ de la fonction exponentielle.

Position du k dans les expressions logarithmique et exponentielle

Pour passer de la forme logarithmique à exponentielle lorsqu'un $k$ est en place, on procède ainsi :

$y = \log_{3}(x) + 2 \text{ deviendra } y = 3^{(x-2)}$

Vous remarquez que le $k$ de la fonction logarithmique devient le $h$ de la fonction exponentielle.

3.3.2 – Résolution d'une équation logarithmique à une variable

Ce qui nous pose problème habituellement est la résolution d'expressions logarithmiques. Cette opération mathématique nous est moins familière, c'est donc normal d'avoir plus de difficulté à la résoudre.

Voici quelques exemples de résolution qui pourront vous servir :

Trouver le zéro d'une fonction logarithmique

Considérons l'expression suivante :

$y = 3{,}5 \log_{2}(x-5) + 4$

On cherche à trouver son zéro (abscisse à l'origine), on remplace donc $y$ par 0.

$0 = 3{,}5 \log_{2}(x-5) + 4$

Ensuite, l'objectif est d'isoler la partie $\log_{c}(x-h)$ de la fonction.

$0 = 3{,}5 \log_{2}(x-5) + 4$

$-4 = 3{,}5 \log_{2}(x-5)$

$-1{,}14 = \log_{2}(x-5)$

À ce point-ci, on peut passer à la forme exponentielle pour résoudre.

$-1{,}14 = \log_{2}(x-5) \text{ deviendra } x - 5 = 2^{-1{,}14}$

On peut maintenant simplifier puis isoler $x$.

$x - 5 = 2^{-1{,}14}$

$x - 5 = 0{,}45$

$x = 5{,}45$

On sait donc que l'abscisse à l'origine de cette fonction est $(5{,}45, 0)$.

3.3.3 – Résolution d'une équation exponentielle à une variable

Plusieurs situations sont possibles lorsque vient le temps de résoudre des équations exponentielles à une variable. Plusieurs d'entre elles peuvent être résolues par la simplification et la transformation en expressions logarithmiques, alors que d'autres demandent plus de travail.

Voici un exemple commun d'une situation qui ne peut pas être résolue simplement par la conversion d'une forme à l'autre.

Considérons l'équation suivante :

$3^{x} = 4^{x-1}$

On cherche à résoudre l'expression pour déterminer la valeur de $x$. Dans cette situation, on pourra utiliser l'équivalence logarithmique suivante :

$a^{x} = b^{x+c} \text{ devient } x = \log_{a} b^{x+c}$

On fait donc la conversion :

$3^{x} = 4^{x-1} \text{ devient } x = \log_{3} 4^{x-1}$

Par la suite, on peut résoudre l'équation ainsi :

$x = \log_{3} 4^{x-1}$

$x = (x-1) \log_{3} 4$

$x = (x-1) \cdot 1{,}262$

$x = 1{,}262x - 1{,}262$

$0 = 0{,}262x - 1{,}262$

$1{,}262 = 0{,}262x$

$x = 4{,}816$

Finalement, on peut valider notre solution :

$3^{x} = 4^{x-1}$

$3^{4{,}816} = 4^{4{,}816-1}$

$3^{4{,}817} = 4^{3{,}817}$

$198{,}74 = 198{,}64$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1.

p. 198 #1(acef), 2(adfgh), 4(abcgi), 5, 7(ad), 9(acgh), 10, 13, 15, 19 et 23.