6.1 – Cercle et ellipse

Le cercle et l'ellipse sont les deux plus simples des fonctions coniques. Elles sont donc un bon point de départ pour nous. Dans cette section, nous verrons :

• Les modèles de ces fonctions et l'influence des différents paramètres
• Comment déterminer la règle d'un cercle ou d'une ellipse
• Les inéquations dans le cercle et l'ellipse

6.1.1 – Le cercle

Le cercle est la plus simple des fonctions coniques, tant dans son explication théorique que dans son application.

La règle correspondant au cercle dans le plan cartésien est la suivante :

$x^2 + y^2 = r^2$

La logique derrière cette règle nous ramène au théorème de Pythagore. En effet, chacun des points du cercle dans le plan cartésien forme un triangle rectangle où les composantes $x$ et $y$ sont les cathètes et le rayon du cercle est l'hypoténuse.

La seule variable pouvant changer de valeur dans la règle d'un cercle est le rayon ($r$) ; la règle est donc facile à déterminer.

Pour déterminer la règle d'un cercle, il faut :

1. Remplacer $x$ et $y$ par une coordonnée sur la circonférence du cercle et isoler $r$.

6.1.2 – L'ellipse

Si l'équation d'un cercle n'avait qu'une seule variable à remplacer, l'équation d'une ellipse n'en a que deux. De plus, le modèle de l'équation est assez semblable à celui du cercle.

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Dans le cas de l'ellipse, les deux variables permettent de contrôler l'étirement horizontal ($a$) et vertical ($b$).

Dans cet exemple, l'étirement horizontal est de 2 ($a = 2$) et l'étirement vertical est de 4 ($b = 4$).

De plus, on peut identifier les foyers de l'ellipse comme deux points situés sur l'axe le plus long de l'ellipse.

La distance séparant le centre de l'ellipse et les foyers est donnée par les équations suivantes :

$a^2 = b^2 + c^2 \text{ si } a > b$

$b^2 = a^2 + c^2 \text{ si } b > a$

Même si les foyers ne font pas partie de l'équation de l'ellipse, ils peuvent aider lors de la recherche de la règle de la fonction.

Pour déterminer l'équation d'une ellipse, il faut :

1. Connaître soit une ordonnée à l'origine ou une abscisse à l'origine, ainsi qu'un autre point.
2. À l'aide de l'ordonnée/abscisse à l'origine, déterminer la valeur de $a$ ou $b$.
3. Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point pour déterminer la deuxième variable.
4. Écrire la fonction complète.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons l'ellipse suivante :

1. On peut identifier une abscisse à l'origine (un zéro) ainsi qu'un autre point

Abscisse à l'origine $= -2{,}5$. Deuxième point $= (2, 2{,}1)$.

2. On utilise l'abscisse à l'origine pour déterminer a (l'étirement horizontal)

On utilise toujours la valeur positive de l'étirement horizontal et vertical pour déterminer $a$ et $b$.

$a = 2{,}5$

3. On remplace x et y par les coordonnées du deuxième point pour connaître la valeur de la variable manquante

Sachant que $a = 2{,}5$ et avec le point $(2, 2{,}1)$ :

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \text{ devient}$

$\dfrac{2^2}{2{,}5^2} + \dfrac{2{,}1^2}{b^2} = 1$

On cherche donc à isoler $b$ :

$\dfrac{4}{6{,}25} + \dfrac{4{,}41}{b^2} = 1$

$0{,}64 + \dfrac{4{,}41}{b^2} = 1$

$\dfrac{4{,}41}{b^2} = 0{,}36$

$4{,}41 = 0{,}36b^2$

$12{,}25 = b^2$

$3{,}5 = b$

4. On écrit l'équation complète

$\dfrac{x^2}{2{,}5^2} + \dfrac{y^2}{3{,}5^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \dfrac{x^2}{6{,}25} + \dfrac{y^2}{12{,}25} = 1$

6.1.3 – Les inéquations dans le cercle et l'ellipse

Même pour les cercles et les ellipses, les inéquations peuvent être utilisées. Dans le cas de ces deux fonctions coniques, leur application est assez simple :

Zone solution à l'intérieur de la forme

$\text{Cercle : } x^2 + y^2 \leq r^2 \qquad x^2 + y^2 < r^2$

$\text{Ellipse : } \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \leq 1 \qquad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} < 1$

Zone solution à l'extérieur de la forme

$\text{Cercle : } x^2 + y^2 \geq r^2 \qquad x^2 + y^2 > r^2$

$\text{Ellipse : } \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \geq 1 \qquad \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} > 1$

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 176 #1ace, 3abef, 4a, 5bd, 6cde, 9abcd, 11, 14, 15 et 18.