6.2 – Hyperbole et parabole

L'hyperbole et la parabole sont les deux coniques les plus complexes. Dans cette section, nous verrons :

• Les modèles de ces fonctions et l'influence des différents paramètres.
• Comment déterminer la règle d'une hyperbole ou d'une parabole.
• Les inéquations dans l'hyperbole et la parabole.

6.2.1 – L'hyperbole

L'hyperbole est une paire de courbes correspondant à la différence des distances entre le foyer et n'importe quel point de la courbe. On note l'équation des hyperboles de la manière suivante :

$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \pm 1$

L'hyperbole a les caractéristiques suivantes :

• Son centre est toujours à $(0, 0)$… du moins pour cette année.
• Les équations $y = \dfrac{b}{a}x$ et $y = -\dfrac{b}{a}x$ constituent les asymptotes des courbes.
• La relation entre les paramètres $a$, $b$ et $c$ (les foyers) est donnée par l'équation $a^2 + b^2 = c^2$.

Dans ce graphique, les sommets se trouvent sur l'axe des $x$ (puisque la fonction est égale à 1) ; les sommets se trouvent donc à $x = a$ et $x = -a$. Les asymptotes ont des taux de variation de $2/3$, correspondant aux valeurs de $b$ et $a$.

Dans ce graphique, les sommets se trouvent sur l'axe des $y$ (puisque la fonction est égale à $-1$) ; les sommets se trouvent donc à $y = b$ et $y = -b$. Les asymptotes ont des taux de variation de $1/4$, correspondant aux valeurs de $b$ et $a$.

Pour déterminer la règle d'une hyperbole, il faut :

1. Amasser de l'information sur les paramètres $a$, $b$ et $c$, en plus de déterminer si l'équation est égale à 1 ou $-1$. N'oubliez pas que la pente des asymptotes contient de l'information sur les valeurs de $a$ et $b$.
2. Écrire l'équation de l'hyperbole.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons la situation suivante :

1. On cherche à déterminer le maximum d'information du graphique

On sait que :

• La valeur de $a$ est $2{,}5$.
• La fonction est égale à 1 puisque les sommets sont sur l'axe des $x$.
• Une des asymptotes passe par le point $(-2, 1{,}2)$.

Le taux de variation des asymptotes est donc :

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1{,}2}{-2} = 0{,}6$

Donc :

$\dfrac{b}{a} = -0{,}6$

$\dfrac{b}{2{,}5} = -0{,}6$

$b = -1{,}5$

2. On détermine la règle de la fonction

$\dfrac{x^2}{2{,}5} + \dfrac{y^2}{-1{,}5} = 1$

6.2.2 – La parabole

Une parabole est une courbe dont tous les points sont situés à égale distance d'une droite (appelée directrice) et d'un point (foyer).

On présente la règle d'une parabole sous les formes suivantes :

$(y-k)^2 = 4c(x-h) \text{ produira une ouverture horizontale}$

ou

$(x-h)^2 = 4c(y-k) \text{ produira une ouverture verticale}$

Les caractéristiques de la parabole sont les suivantes :

• Les coordonnées du sommet sont $(h, k)$.
• La distance entre la directrice et le sommet est déterminée par $c$.
• La distance entre le foyer et le sommet est aussi déterminée par $c$.
• Pour une ouverture verticale, les coordonnées du foyer sont $(h, k+c)$.
• Pour une ouverture horizontale, les coordonnées du foyer sont $(h+c, k)$.
• Pour une ouverture verticale, l'équation de la directrice est $y = k - c$.
• Pour une ouverture horizontale, l'équation de la directrice est $x = h - c$.
• Dans tous les cas, $c$ contrôle le sens de l'ouverture ($c > 0$, $c < 0$).

Voici un exemple :

Dans cet exemple :

• L'ouverture est horizontale, donc la règle est du modèle $(y-k)^2 = 4c(x-h)$.
• Le sommet est situé à $(3, 2)$, donc $h = 3$ et $k = 2$.
• La valeur de $c = 1$ ($c = -1$ aurait amené une ouverture vers la gauche).
• L'équation de la directrice est $x = h - c$ donc $x = 2$.
• Le foyer est situé au point $(h+c, k)$ donc $(4, 2)$.

Pour déterminer l'équation d'une parabole, il faut :

1. Amasser de l'information sur les paramètres $h$, $k$ et $c$, en plus de déterminer si l'ouverture est horizontale ou verticale.
2. Écrire l'équation de la parabole.

Voici un exemple pour vous aider :

Considérons la situation suivante :

1. On tente de déterminer les valeurs de h, k et c grâce au graphique

L'ouverture est verticale et négative. Le sommet est situé à $(-3, 4)$ donc $h = -3$ et $k = 4$. On connaît le point $(0, -0{,}5)$. Il ne nous manque que la valeur de $c$ pour compléter la règle.

$(x-h)^2 = 4c(y-k) \text{ devient}$

$(x+3)^2 = 4c(y-4) \text{ où } (x,y) \text{ valent } (0, -0{,}5)$

$(0+3)^2 = 4c(-0{,}5-4)$

$3^2 = 4c(-4{,}5)$

$9 = -18c$

$c = -0{,}5$

2. On écrit la règle de la fonction

$(x+3)^2 = -2(y-4)$

6.2.3 – L'hyperbole et la parabole avec les inéquations

Pour les inéquations dans une hyperbole, on peut se fier au tableau suivant :

Région dans les hyperboles	Région entre les hyperboles
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \geq \pm 1$ ou $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} > \pm 1$	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} \leq \pm 1$ ou $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} < \pm 1$

Pour les inéquations dans une parabole, on peut se fier au tableau suivant :

$(y-k)^2 = 4c(x-h)$		$(x-h)^2 = 4c(y-k)$
$\geq$ ou $>$	$\leq$ ou $<$	$\geq$ ou $>$	$\leq$ ou $<$
Région à l'extérieur de la parabole	Région dans la parabole	Région à l'extérieur de la parabole	Région dans la parabole

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2.

p. 193 #1ace, 2cd, 3ae, 4ac, 5bd, 7adf, 9ab, 11ab, 12 et 14.