6.3 – L'intersection des coniques

À première vue, ce peut faire un peu peur… comment faire intersecter des coniques ? ! Mais vous allez voir, c'est plus simple qu'il n'en paraît.

Vous avez déjà réalisé plusieurs tâches similaires par le passé :

• Trouver la solution d'un système d'équations (technique de comparaison ou de substitution)
• Résoudre une équation du deuxième degré
• Identifier les zéros d'une fonction sinusoïdale
• etc.

Pour trouver la ou les intersections d'une conique avec une fonction linéaire ou une parabole, on peut adopter trois stratégies différentes.

6.3.1 – Méthode graphique

C'est évident, mais quand les solutions sont faciles à identifier dans le graphique, on peut sauver beaucoup de temps. Si jamais la solution n'est pas claire, on saura au moins combien de solutions sont recherchées et leur position approximative. Comme je le mentionne souvent, ça vaut la peine de se faire un croquis pour ce genre de situation.

Des exemples de points d'intersection entre une conique et une fonction linéaire ou une parabole ressemblent à ça :

On voit donc que des coniques (celles que nous utiliserons) peuvent avoir aucune, une ou deux intersections.

Comme vous vous en doutez, d'autres coniques peuvent générer plus d'intersections, mais ce plus grand nombre d'intersections se traduit par des équations de degré 3 ou 4, que nous n'avons pas appris à résoudre.

6.3.2 – Résolution algébrique

Pour résoudre des coniques, on peut habituellement utiliser deux techniques différentes qui sont bien connues :

1. Comparaison
2. Substitution

Effectivement, ces techniques fonctionnent toujours, même avec des équations plus complexes. Par contre, leur moment d'utilisation est moins « au choix de l'utilisateur » et davantage dépendant de la situation.

• Pour les intersections de fonctions de format $y = \ldots$, on peut utiliser la comparaison.
• Pour les intersections comprenant $y^2 = \ldots$ ou encore $x^2 = \ldots$, la substitution donnera de meilleurs résultats.

Voici un exemple de comparaison :

Considérons le système d'équations suivant :

1. On doit d'abord réorganiser l'équation de la parabole pour la mettre en format y = …

$x^2 = 3(y+2) \text{ deviendra}$

$y = 0{,}33x^2 - 2$

2. On peut maintenant comparer les équations

$y = 0{,}33x^2 - 2 \text{ et } y = 0{,}4x + 1 \text{ deviennent}$

$0{,}33x^2 - 2 = 0{,}4x + 1$

3. On déplace ensuite toutes les informations du même côté pour obtenir une équation du 2e degré égale à 0

$0{,}33x^2 - 2 = 0{,}4x + 1 \text{ devient}$

$0{,}33x^2 - 0{,}4x - 3 = 0$

4. Il suffit maintenant de résoudre cette équation à l'aide de la formule quadratique pour obtenir les deux valeurs de x possibles

Dans ce cas, les deux valeurs possibles sont :

$x_1 = -2{,}45 \qquad x_2 = 3{,}66$

5. Avec ces deux valeurs de x, on peut déterminer les valeurs de y qui sont associées grâce à l'équation de notre choix

Voici un exemple pour la méthode de la substitution :

Dans cette situation, nous cherchons à comparer les deux coniques suivantes :

Puisque ces deux équations peuvent difficilement être amenées au format $y = \ldots$, il est plus simple de faire la substitution.

1. On identifie la variable déjà isolée et on la place dans l'autre équation

Dans ce cas, $y^2 = 2{,}5(x-1)$ remplacera le $y^2$ de l'ellipse.

$y^2 = 2{,}5(x-1) \text{ et } \dfrac{y^2}{1} + \dfrac{x^2}{4} = 1 \text{ deviendront}$

$\dfrac{2{,}5(x-1)}{1} + \dfrac{x^2}{4} = 1$

2. On peut alors simplifier l'expression et déplacer toutes ses composantes du même côté pour résoudre l'équation pour 0 grâce à l'équation quadratique

$\dfrac{2{,}5(x-1)}{1} + \dfrac{x^2}{4} = 1 \text{ deviendra}$

$2{,}5x - 2{,}5 + 0{,}25x^2 = 1 \text{ deviendra}$

$0{,}25x^2 + 2{,}5x - 3{,}5 = 0$

Ainsi, on obtient les résultats suivants :

$x_1 = -11{,}25 \qquad x_2 = 1{,}25$

On comprendra que le premier zéro n'a pas de signification ici, on conservera donc seulement le deuxième.

3. Le reste de la démarche est semblable à l'exemple précédent !

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C'est ainsi que se termine donc vos apprentissages de mathématiques de votre parcours secondaire ! Félicitations !

Je vous laisse sur cette citation de mon très cher Richard Feynman au sujet des mathématiques :

« To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature ... If you want to learn about nature, to appreciate nature, it is necessary to understand the language that she speaks in. »

— Richard Feynman, The Character of Physical Law

J'espère que mes années à vous accompagner vous auront insufflé une appréciation des mathématiques, une satisfaction pour la rigueur, le plaisir d'apprendre, l'importance de poser des questions et l'universalité de la créativité, même dans les domaines scientifiques. Si ce n'est pas le cas, j'espère ne pas vous avoir trop ennuyé !

Ah oui, n'oubliez pas de faire les exercices liés à cette section !

Vision Vol. 2

p. 204 #1cde, 2ae, 3bd, 4ei, 8, 9, 11, 12, 13 et 15.