Section 1.1 – Les systèmes d'inéquations

1.1.1 – Les systèmes d'inéquations

Pour résoudre un système d'inéquations, il faut passer par deux étapes importantes : déterminer le point de rencontre des deux inéquations et visualiser l'ensemble solution créé par les fonctions.

Voici un exemple de résolution d'un système d'inéquation englobant ces deux étapes. Considérons les deux inéquations suivantes :

$y < 3x + 2$

$y > -1{,}5x - 2$

1. Déterminons d'abord la solution du système d'inéquation.

Puisqu'on peut traiter les deux inéquations comme des équations, on obtient :

$y = 3x + 2 \qquad y = -1{,}5x - 2$

Comme les deux $y$ sont déjà isolés dans cette situation, on peut comparer les deux équations :

$3x + 2 = -1{,}5x - 2$

On isole la variable $x$ pour connaître sa valeur :

$3x + 2 = -1{,}5x - 2$

$4{,}5x + 2 = -2$

$4{,}5x = -4$

$x = -0{,}89$

En réutilisant la valeur de $x$ dans l'une des deux équations (la plus simple si possible), on découvre la valeur de $y$ :

$y = 3x + 2 \text{ où } x = -0{,}89$

$y = 3(-0{,}89) + 2$

$y = -2{,}67 + 2$

$y = -0{,}67$

On identifie la solution : la solution du système d'équation est donc $(-0{,}89 , -0{,}67)$.

2. On peut maintenant visualiser la solution du système d'équation.

Pour déterminer la solution d'un système d'équation, on suit habituellement les étapes suivantes :

1. Dans un plan cartésien, on place la solution du système d'inéquations.

2. Puisque la solution du système d'équation fait partie des deux inéquations en même temps, on dispose déjà d'un point sur deux pour tracer les deux inéquations (les droites). On peut maintenant trouver un autre point pour chacune des inéquations. Je choisirai de trouver la coordonnée $y$ de chaque inéquation lorsque $x = 3$ :

$y < 3x + 2 \qquad y > -1{,}5x - 2$

$y < 3(3) + 2 \qquad y > -1{,}5(3) - 2$

$y < 9 + 2 \qquad y > -4{,}5 - 2$

$y < 11 \qquad y > -6{,}5$

On obtient donc la coordonnée $(3, 11)$ pour la $1^{re}$ inéquation et $(3, -6{,}5)$ pour la $2^e$.

3. On place ces nouveaux points dans le plan cartésien et on trace les inéquations.

4. Il faut finalement déterminer comment tracer la ligne des inéquations et quelle section identifier pour représenter l'ensemble solution. Puisque les deux inéquations n'incluent pas les données égales à l'inéquation ($\geq$ ou $\leq$), on tracera les deux lignes en pointillé. Puisque dans $y < 3x + 2$, les valeurs qui représentent l'inéquation sont plus petites que $3x + 2$, on identifiera la zone sous la ligne comme l'ensemble solution. Puisque $y > -1{,}5x - 2$, les valeurs qui représentent l'inéquation sont plus grandes que $-1{,}5x - 2$, on identifiera la zone au-dessus de la ligne comme l'ensemble solution.

Dans le plan cartésien, ces ensembles solutions sont représentées ainsi :

La zone mauve représente l'ensemble solution correspondant aux deux inéquations. C'est donc cette zone qui représente les données satisfaisant au système d'inéquation initial.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 109, # 1, 2, 4, 8, 9, 11, 12 et 15.