Section 1.4 – Optimisation

L'optimisation est l'action de transformer une situation complexe en une série de contraintes et ensuite d'y rechercher la solution la plus avantageuse. Comme vous vous en doutez, les techniques utilisées pour optimiser une situation sont l'aboutissement des sections précédentes.

1.4.1 – La démarche à suivre

Pour optimiser une situation, il suffit de suivre les étapes suivantes :

1. Identifier les variables ($x$ et $y$).
2. Traduire les contraintes du problème par des équations ($y = ax + b$).
3. Tracer le polygone de contraintes.
4. Déterminer la règle de la fonction à optimiser ($z = ax + by$).
5. Déterminer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.
6. Déterminer le couple-solution qui maximise ou minimise la fonction à optimiser (recherche de solution avantageuse).

1.4.2 – Exemple

Voici la situation à optimiser :

Situation

Le comité des finissants d'une école organise une vente de biscuits et de muffins pour amasser des fonds pour leur bal de fin d'études. Le comité doit vendre un maximum de 320 desserts. Il doit y avoir au moins 120 biscuits et au plus 160 muffins. De plus, il doit y avoir au plus 4 fois plus de biscuits que de muffins vendus. Finalement, le coût d'un muffin et le coût d'un biscuit sont les mêmes, soit 2,50 $. Le comité des finissants désire maximiser ses revenus. Combien de muffins et de biscuits doit-il vendre afin d'y parvenir?

1. Identifier les variables ($x$ et $y$).

Dans cette situation, les élèves doivent balancer le nombre de biscuits et de muffins à vendre pour tenter de tirer le plus de profits. Aucune autre paire de variables n'est mentionnée dans l'énoncé. Par contre, l'argent est une variable, mais elle n'est pas associée directement aux muffins et aux biscuits — l'argent est plutôt le résultat de la vente de ces derniers. On décidera donc que les muffins et les biscuits sont les variables :

$x = \text{Biscuits} \qquad y = \text{Muffins}$

2. Traduire les contraintes du problème par des équations ($y = ax + b$).

Identifions les contraintes dans le texte et écrivons-les comme elles sont mentionnées :

$x + y \leq 320 \qquad x \geq 120 \qquad y \leq 160 \qquad x \leq 4y$

Reprenons ensuite les contraintes pour les écrire sous leur forme $y = ax + b$ :

$y \leq -x + 320 \qquad x \geq 120 \qquad y \leq 160 \qquad y \geq 0{,}25x$

3. Tracer le polygone de contraintes.

4. Déterminer la règle de la fonction à optimiser ($z = ax + by$).

Dans le texte, la dernière phrase (qui est la seule à parler d'argent) nous indique la fonction à optimiser puisqu'elle lie une nouvelle variable ($z$ = argent) aux deux autres ($x$ et $y$) : « Finalement, le coût d'un muffin et le coût d'un biscuit sont les mêmes, soit 2,50 $. » deviendra :

$z = 2{,}5x + 2{,}5y$

5. Déterminer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.

Lorsque les coordonnées d'un sommet (donc d'un point de rencontre de deux droites) sont faciles à lire dans le plan cartésien, cette partie du travail est simple et rapide. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas — dans ces situations, vous devez utiliser vos compétences de résolution de système d'équation (par exemple, la technique de la comparaison) pour identifier correctement les coordonnées des sommets.

6. Déterminer le couple-solution qui maximise ou minimise la fonction à optimiser (recherche de solution avantageuse).

Dans cette situation, nous cherchons à trouver le couple-solution qui maximise les profits. On place donc chacune des coordonnées des sommets dans la fonction à optimiser $z = 2{,}5x + 2{,}5y$ :

$(120, 30) \rightarrow z = 375$ (soit 375 $)

$(120, 160) \rightarrow z = 700$ (soit 700 $)

$(160, 160) \rightarrow z = 800$ (soit 800 $)

$(254, 64) \rightarrow z = 795$ (soit 795 $)

On obtient donc que la combinaison 160 biscuits et 160 muffins est la plus payante des options pour les élèves. C'est donc la réponse à notre problème.

Les exercices reliés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 42, # 2 à 5, 7, 9 et 11; p. 55, # 3, 8, 9, 12, 14 et 16.