Section 1.3 – La recherche de solution avantageuse

Maintenant que vous êtes en mesure de tracer des polygones de contraintes, nous chercherons à utiliser ces ensembles solutions pour trouver la solution la plus avantageuse pour une mise en situation.

En fonction du contexte et du type de solution visée, on parlera de maximiser ou de minimiser une situation. Dans tous les cas, les sommets des polygones de contraintes vous indiqueront les couples de solution à investiguer pour résoudre une situation plus rapidement.

1.3.1 – Maximiser une situation

On peut chercher à maximiser une situation dans plusieurs contextes. Par exemple, une compagnie peut chercher à maximiser ses profits en choisissant avec précaution quelle quantité de ses différents produits elle fabrique. Un élève pourrait tenter de maximiser ses résultats en choisissant combien de temps investir dans l'étude de ses matières.

Pour maximiser une situation, il faut :

• Disposer du polygone de contraintes de la situation.
• Connaître la fonction à maximiser (la fonction qui produira la réponse).

Une fois ces deux éléments réunis, on place les coordonnées des différents sommets dans la fonction à optimiser et on tente de découvrir lequel des points produit la plus grande solution.

Voici un exemple d'une situation à maximiser. Considérons le polygone de contraintes suivant :

L'objectif est de maximiser la situation en fonction de l'équation suivante :

$\text{Profits (P)} = 15x + 23{,}5y$

où $x$ représente le nombre de livres vendus et $y$ le nombre de dictionnaires vendus.

1. On identifie les coordonnées des sommets du polygone de contraintes. Dans cette situation, on identifie 4 sommets : $A(0,0)$, $B(0,200)$, $C(50,200)$, $D(57, 171)$.
2. On place chacun des couples de coordonnées dans la fonction Profits pour découvrir le profit engendré par la vente de ce nombre d'ouvrages.

$A$ : on peut rapidement comprendre que 0 $ de profits sera généré avec la vente d'aucun livre.

$B : P = 15(0) + 23{,}5(200) = 4\,700$ (soit 4 700 $)

$C : P = 15(50) + 23{,}5(200) = 5\,450$ (soit 5 450 $)

$D : P = 15(57) + 23{,}5(171) = 4\,873{,}50$ (soit 4 873,50 $)

On remarque donc que le point nous donnant les plus grands profits (où les profits sont maximisés) est le point $C(50, 200)$. Ceci veut dire que nous pourrions chercher le profit généré par n'importe quel autre point du graphique et il ne produirait pas un aussi grand nombre que le point $C$.

1.3.2 – Minimiser une situation

Minimiser une solution, vous l'aurez compris, revient à rechercher le point ou les coordonnées qui produisent le plus petit résultat dans l'équation finale. La même démarche est appliquée pour minimiser une situation que pour maximiser une situation.

Exercice

Pour mettre votre compréhension à l'épreuve, voici une situation à minimiser. Un des élèves du groupe aura à expliquer sa démarche complète en classe au tableau. Bonne préparation!

Considérons le polygone de contraintes suivant :

La fonction Temps est $T = 7{,}2x + 1{,}1y$, où $x$ représente le temps d'étude et $y$ le temps de devoir. Quelle combinaison de temps de travail représente la solution minimisée dans cette situation?

Les exercices liés à cette section se trouvent sur Classroom (exercices 1.3).