Section 2.1 – Les fonctions de base et les paramètres a, b, h et k

Comme introduit dans la section précédente, l'objectif de ce chapitre est de revoir les fonctions de base dans un contexte plus poussé. Dans cette section, il sera question des formes de base des différentes fonctions mathématiques et des différents paramètres qui les composent. Nous tenterons de faire des liens entre les différents paramètres et l'impact qu'ils ont sur l'allure des fonctions.

2.1.1 – Les fonctions de base et leur forme complète

Dans le tableau suivant, vous trouverez toutes les fonctions qui ont déjà été introduites dans les années précédentes dans leurs formes simples, leurs formes complètes et des exemples de ces formes complètes avec de vraies valeurs numériques. Notez que ce sont les formes canoniques des fonctions qui sont représentées ici ($y = \ldots$ ou $f(x) = \ldots$) — ces fonctions existent aussi dans d'autres formes.

Famille de fonction	Forme simple	Forme complète	Exemple
Polynomiale degré 1	$y = x$	$y = ax + b$	$y = 3x + 2$
Polynomiale degré 2	$y = x^2$	$y = ax^2 + bx + c$	$y = 3x^2 + 4x - 3$
Partie entière	$y = [x]$	$y = a[b(x-h)]+k$	$y = 0{,}5[2(x+3)]-2$
Valeur absolue	$y = \vert x \vert$	$y = a\vert b(x-h)\vert+k$	$y = 2\vert 3(x-4)\vert+6$
Racine carrée	$y = \sqrt{x}$	$y = a\sqrt{b(x-h)}+k$	$y = 2\sqrt{3(x-4)}+5$
Exponentielle	$y = ac^x$	$y = a(c)^{b(x-h)}+k$	$y = 2(1{,}1)^{2(x-3)}+4$
Rationnelle	$y = \dfrac{a}{x}$	$y = \dfrac{a}{x-h}+k$	$y = \dfrac{20}{x-2}+10$
Sinus	$y = \sin x$	$y = a\sin(b(x-h))+k$	$y = 2\sin(4(x-2))+7$

Comme vous pouvez le remarquer, la notation $a$, $b$, $h$ et $k$ est utilisée dans toutes les fonctions qui sont couvertes par le cours de mathématiques. Dans les prochaines sections, nous couvrirons en détail l'impact de ces paramètres sur les différentes fonctions.

2.1.2 – Les paramètres a, b, h et k dans les fonctions quadratiques, sinus, valeur absolue et escalier

Comme vous le verrez dans cette section, les paramètres $a$ et $b$ sont toujours présentés dans trois ensembles de valeurs, soit $z > 1$, $1 > z > 0$ ou $z < 0$. On utilise ces trois catégories puisque les facteurs $a$ et $b$ sont des facteurs multiplicatifs et que :

• Multiplier un nombre par une valeur plus grande que 1 ($z > 1$) revient à l'augmenter. Ex : $2 \cdot 1{,}5 = 3$.
• Multiplier un nombre par une valeur comprise entre 1 et 0 ($1 > z > 0$) revient à le diminuer. Ex : $2 \cdot 0{,}5 = 1$.
• Multiplier un nombre par une valeur plus petite que 0 ($z < 0$) revient à l'inverser. Ex : $2 \cdot -1 = -2$.

Paramètre multiplicatif $a$

Dans les fonctions qui nous intéressent ici, la modification du paramètre multiplicatif $a$ équivaut à un changement d'échelle vertical. Tous les points de la fonction subissent une distorsion sur l'échelle des $y$. Attention, il ne s'agit pas d'une translation. Dans le cas d'un $a < 1$, on remarquera habituellement une réflexion de la fonction par rapport à l'axe des $x$.

$a > 1$	$1 > a > 0$	$a < 1$
Étirement vertical	Contraction verticale	Réflexion par rapport à l'axe des $x$

Fonction quadratique — $y = x^2$ comparée à $y = 2x^2$, $y = 0{,}5x^2$ et $y = -x^2$ :

Fonction sinus — $y = \sin x$ comparée à $y = 2\sin x$, $y = 0{,}5\sin x$ et $y = -\sin x$ :

Fonction valeur absolue — $y = \vert x\vert$ comparée à $y = 2\vert x\vert$, $y = 0{,}5\vert x\vert$ et $y = -\vert x\vert$ :

Paramètre multiplicatif $b$

La modification du paramètre multiplicatif $b$ équivaut à un changement d'échelle horizontal. Tous les points de la fonction subissent une distorsion sur l'échelle des $x$. Attention, il ne s'agit pas d'une translation. Dans le cas d'un $b < 1$, on remarquera habituellement une réflexion de la fonction par rapport à l'axe des $y$.

Ici, $y = \vert{-1}x\vert$ n'apparaît pas sur le graphique de la valeur absolue puisqu'elle est confondue avec la fonction de base (réflexion sur elle-même).

Paramètre additif $h$

La modification du paramètre additif $h$ équivaut à une translation horizontale. Tous les points de la fonction subissent un déplacement sur l'échelle des $x$. La direction de la translation est donnée par le signe (positif ou négatif) de la valeur $h$.

Paramètre additif $k$

La modification du paramètre additif $k$ équivaut à une translation verticale. Tous les points de la fonction subissent un déplacement sur l'échelle des $y$. La direction de la translation est donnée par le signe (positif ou négatif) de la valeur $k$.

2.1.3 – Tracer une fonction transformée

Pour visualiser une fonction transformée sans l'aide de votre calculatrice graphique ou d'une application comme Desmos, vous pouvez suivre la démarche suivante :

1. Dans la fonction transformée, identifier les paramètres $a$, $b$, $h$ et $k$.
2. Pour la fonction de base, déterminer plusieurs coordonnées $(x, y)$.
3. Pour chacune des coordonnées identifiées précédemment, modifier les valeurs à l'aide de la règle suivante : $\left(\dfrac{x}{b} + h,\ ay + k\right)$.
4. Placer ces coordonnées transformées dans le graphique et tracer la fonction.

Voici un exemple. Ici, on souhaite visualiser la fonction $y = 2\vert 3(x-4)\vert + 5$.

1. On identifie les paramètres $a$, $b$, $h$ et $k$ dans cette fonction valeur absolue : $a = 2$, $b = 3$, $h = 4$, $k = 5$.

2. Pour la fonction de base $y = \vert x\vert$, on identifie plusieurs coordonnées (on choisit des valeurs de $x$ et on calcule le $y$ associé) :

$x$	$y$
-5	5
-2	2
0	0
2	2
5	5

3. Pour chacune des coordonnées identifiées précédemment, on trouve la coordonnée transformée :

Initiale	Règle	Transformée
$(-5, 5)$	$(-5/3 + 4,\ 2\cdot5 + 5)$	$(2{,}33,\ 15)$
$(-2, 2)$	$(-2/3 + 4,\ 2\cdot2 + 5)$	$(3{,}33,\ 9)$
$(0, 0)$	$(0/3 + 4,\ 2\cdot0 + 5)$	$(4,\ 5)$
$(2, 2)$	$(2/3 + 4,\ 2\cdot2 + 5)$	$(4{,}66,\ 9)$
$(5, 5)$	$(5/3 + 4,\ 2\cdot5 + 5)$	$(5{,}66,\ 15)$

4. On place les coordonnées dans le graphique et on trace la fonction :

2.1.4 – Règle de la fonction réciproque

Dans la section précédente, nous avons expliqué ce qu'est une réciproque ainsi que sa relation avec la fonction dont elle origine (réflexion par rapport à l'axe $y = x$ ou inversion des coordonnées $(y, x)$). Dans cette section, nous nous intéressons à la recherche de la règle de la réciproque.

Puisque les fonctions réciproques ne correspondent pas habituellement à un modèle de fonction « classique », il est parfois difficile, voire impossible, de trouver la règle d'une réciproque à l'aide de la procédure habituelle. Nous verrons donc une manière différente de rechercher la règle d'une réciproque.

Pour déterminer la règle d'une réciproque, on suit les étapes suivantes :

1. Identifier la règle de la fonction qui subira la réciproque et isoler $y$ (forme canonique).
2. Isoler $x$ dans cette fonction.
3. Dans la fonction où $x$ est isolé, inverser le $x$ et le $y$.
4. Inscrire la règle de la fonction réciproque de cette manière : $y^{-1} = \ldots$ ou $f^{-1}(x) = \ldots$

Voici un exemple. Considérons la fonction $y = 3x + 5$ comme la fonction qui subira la réciproque.

1. La fonction étant déjà dans sa forme canonique, cette étape est déjà complétée :

$y = 3x + 5$

2. Dans la fonction, on isole $x$ :

$y = 3x + 5$

$y - 5 = 3x$

$\dfrac{y-5}{3} = x$

3. On inverse le $x$ et le $y$ dans cette équation :

$\dfrac{x-5}{3} = y$

4. On inscrit la fonction réciproque dans sa version finale :

$y^{-1} = \dfrac{x-5}{3}$