Section 2.2 – La fonction racine carrée

Nous avons déjà eu l'occasion de voir de quoi a l'air la formule de base de la fonction racine carrée, son allure dans un graphique et l'impact de ses quatre paramètres. Dans cette section, nous nous intéresserons davantage aux propriétés des radicaux (les racines), à la rationalisation, à la recherche de la règle d'une fonction racine carrée ainsi qu'à l'utilisation de la règle pour répondre à certaines questions.

2.2.1 – Les propriétés des radicaux

Cette section se veut une révision d'une partie du cours de secondaire 3 sur les propriétés des exposants et des racines. Vous êtes d'ailleurs invités à consulter la section 1.1 de secondaire 3 pour les informations complètes.

1. Interchanger la notation racine et la notation exposant.

$\sqrt[m]{Z^n} = Z^{n/m}$

Exemple : $\sqrt[4]{8^{12}} = 8^{12/4} = 8^3 = 512$

2. Multiplication entre des racines. Lorsque $a \geq 0$ et $b \geq 0$, on peut multiplier des racines ensemble :

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

Exemple : $\sqrt{4} \times \sqrt{16} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$

3. Division entre des racines. Lorsque $a \geq 0$ et $b > 0$, on peut diviser des racines ensemble :

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Exemple : $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

2.2.2 – Rationalisation des radicaux

Rationaliser une expression mathématique revient à la simplifier dans la situation où le dénominateur est un nombre irrationnel (rappel : un nombre irrationnel est obtenu lorsqu'on fait la racine d'un nombre qui n'est pas carré. Exemple : $\sqrt{2} = 1{,}414213562\ldots$). Ce genre de situation devient beaucoup plus simple à utiliser si on modifie l'expression pour placer un nombre rationnel à la place du dénominateur. Pour y arriver, on peut procéder de l'une des trois manières suivantes :

1. Dénominateur comme une racine seule (nombre irrationnel). Pour $b > 0$ :

$\dfrac{a}{\sqrt{b}} \text{ deviendra } \dfrac{a}{\sqrt{b}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right) = \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{b}$

Exemple :

$\dfrac{6}{\sqrt{2}} \text{ deviendra } \dfrac{6}{\sqrt{2}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{6 \cdot \sqrt{2}}{2}$

2. Dénominateur comme addition de deux nombres irrationnels. Pour $b \geq 0$ et $c \geq 0$ :

$\dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \text{ deviendra } \dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\right) = \dfrac{a \cdot (\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}$

Exemple :

$\dfrac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \text{ deviendra } \dfrac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\right) = \dfrac{5 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \dfrac{5\sqrt{7}-5\sqrt{3}}{4}$

3. Dénominateur comme soustraction de deux nombres irrationnels. Pour $b \geq 0$ et $c \geq 0$ :

$\dfrac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} \text{ deviendra } \dfrac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right) = \dfrac{a \cdot (\sqrt{b}+\sqrt{c})}{b-c}$

Exemple :

$\dfrac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} \text{ deviendra } \dfrac{6}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}\right) = \dfrac{6 \cdot (\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \dfrac{6\sqrt{8}+6\sqrt{5}}{3}$

2.2.3 – La fonction racine carrée et ses formes

D'abord, il est intéressant de noter que la fonction racine carrée est la réciproque de la fonction quadratique, et vice-versa. Vous remarquerez que les deux branches de la fonction racine carrée ne peuvent pas coexister, puisque ceci ne formerait pas une vraie fonction.

Nous avons vu dans la section 2.1 que la règle de la fonction racine carrée s'écrit selon le modèle suivant : $y = a\sqrt{b(x-h)} + k$. Ce modèle est bien pratique puisqu'il nous permet d'avoir une bonne idée de l'allure de la fonction avant de l'avoir tracée (lorsqu'on comprend bien le rôle des paramètres $a$, $b$, $h$ et $k$).

Par contre, la fonction racine carrée peut aussi s'écrire dans un autre modèle qui a lui aussi ses avantages. En effet, il est possible de transformer le modèle $y = a\sqrt{b(x-h)} + k$ en modèle canonique $y = a\sqrt{\pm(x-h)} + k$ grâce aux propriétés des radicaux. Pour y arriver, il faut séparer le $b$ du reste du radical :

$y = a\sqrt{b(x-h)} + k$

deviendra

$y = a\sqrt{b}\sqrt{(x-h)} + k$

Voici un exemple du passage de la forme générale à la forme canonique. Considérons la fonction suivante :

$y = 5\sqrt{4(x-3)} + 7$

Grâce aux propriétés des radicaux, on peut transformer l'équation ainsi :

$y = 5\sqrt{4(x-3)} + 7$

$y = 5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x-3} + 7$

$y = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-3} + 7$

$y = 10\sqrt{x-3} + 7$

On obtient donc la règle de la fonction sous la forme canonique $y = a\sqrt{\pm(x-h)} + k$ :

$y = 10\sqrt{x-3} + 7$

L'avantage majeur de la forme canonique pour la fonction racine carrée est qu'elle nous donne directement le sommet de la fonction. En effet, dans la forme canonique $y = a\sqrt{\pm(x-h)} + k$, $(h, k)$ représente le sommet de la fonction. Attention! Ce n'est pas le cas avec la forme générale!

2.2.4 – Recherche de la règle d'une fonction racine carrée

Pour déterminer la règle d'une fonction racine carrée (sous sa forme canonique), on procède ainsi :

1. Identifier la coordonnée du sommet (on connaît alors $h$ et $k$) et d'un autre point.
2. Déterminer le signe du radical grâce à l'orientation de la fonction. Si la fonction se dirige vers la droite, le radical est positif; si elle se dirige vers la gauche, le radical est négatif.

3. Grâce au $2^e$ point identifié, remplacer $x$ et $y$ pour déterminer la valeur de $a$.
4. Écrire la règle avec toutes les informations trouvées.

Voici un exemple pour vous aider. Considérons la fonction suivante :

1. On identifie la coordonnée du sommet ainsi que la coordonnée d'un autre point.

$y = a\sqrt{\pm(x-h)} + k \text{ où } (4, -3) \text{ est le sommet devient } y = a\sqrt{\pm(x-4)} - 3$

2. On détermine le signe du radical. Puisque la fonction se dirige vers la droite, on sait que le radical est positif :

$y = a\sqrt{\pm(x-4)} - 3 \text{ devient } y = a\sqrt{x-4} - 3$

3. On insère les valeurs de $h$ et $k$, puis on insère les valeurs de $x$ et $y$ du $2^e$ point pour déterminer la valeur de $a$ :

$y = a\sqrt{x-4} - 3 \text{ où } (8, 5) \text{ est le deuxième point devient } 5 = a\sqrt{8-4} - 3$

On simplifie puis on isole $a$ :

$5 = a\sqrt{4} - 3$

$5 = 2a - 3$

$8 = 2a$

$4 = a$

4. On inscrit finalement la règle de la fonction :

$y = 4\sqrt{x-4} - 3$

2.2.5 – Résolution d'une équation ou inéquation racine carrée

La résolution d'une fonction permet de trouver des informations précises par rapport à cette fonction. Par exemple, on peut trouver :

• La valeur initiale ($y$ lorsque $x = 0$).
• Le zéro ($x$ lorsque $y = 0$) — il n'y en a qu'un seul pour la fonction racine carrée.
• La valeur en $y$ pour n'importe quelle valeur de $x$.
• La valeur en $x$ pour n'importe quelle valeur de $y$.

Contrairement à la fonction quadratique que vous avez étudiée l'an passé, la fonction racine carrée est facile à résoudre. Ce sont toutes des manipulations algébriques que vous utilisez depuis plusieurs années.

Voici deux exemples pour vous aider. Le premier est la résolution algébrique pour déterminer la valeur initiale, et le second est la résolution pour trouver le zéro de la fonction. Considérons la fonction suivante :

$y = -3\sqrt{-(x-3)} + 4$

Déterminer la valeur initiale de la fonction. Pour déterminer la valeur initiale, on remplace $x$ par 0 et on détermine la valeur de $y$ :

$y = -3\sqrt{-(0-3)} + 4$

$y = -3\sqrt{-(-3)} + 4$

$y = -3\sqrt{3} + 4$

$y = -3 \cdot 1{,}732 + 4$

$y = -5{,}196 + 4$

$y = -1{,}196$

Déterminer le zéro de la fonction. Pour déterminer le zéro de la fonction, on remplace $y$ par zéro et on cherche la valeur de $x$ :

$0 = -3\sqrt{-(x-3)} + 4$

$-4 = -3\sqrt{-(x-3)}$

$1{,}33 = \sqrt{-(x-3)}$

$1{,}78 = -(x-3)$

$-1{,}78 = x - 3$

$1{,}22 = x$

On peut vérifier les deux réponses à l'aide de notre calculatrice graphique ou de Desmos. Évidemment, nous avons raison!