Section 2.4 – La fonction rationnelle

Cette fonction a déjà été couverte il y a deux ans, lors de votre secondaire 3. À l'époque, on appelait la fonction rationnelle « fonction variation inverse » (voir section 2.4 – secondaire 3). Cette année, nous allons plus loin dans notre compréhension de cette fonction en regardant la $2^e$ section de cette fonction et en la déplaçant dans le plan cartésien grâce aux valeurs de $h$ et $k$.

2.4.1 – Les formes de la fonction rationnelle

La fonction rationnelle se présente sous trois formes, soit :

La forme rationnelle :

$y = \dfrac{a_1 \cdot x + b_1}{a_2 \cdot x + b_2}$

La forme générale :

$y = \dfrac{a}{b(x-h)} + k$

La forme canonique :

$y = \dfrac{a}{x-h} + k$

Pour passer d'une forme à une autre, on suit les démarches suivantes :

1. Forme rationnelle vers forme générale. Pour obtenir la forme générale, on doit effectuer la division (la fraction) de la forme rationnelle dans le but d'éliminer la variable au numérateur. On souhaite visualiser la division grâce au modèle que vous utilisiez probablement au primaire (souvent appelée « division en crochet ») :

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante :

$y = \dfrac{7x + 4}{2x + 3}$

On doit trouver le moyen de diviser le numérateur par un multiple du dénominateur. L'objectif principal est de ne plus avoir de $x$ au numérateur. On doit multiplier $(2x+3)$ par $3{,}5$ pour obtenir la bonne valeur :

$3{,}5 \cdot (2x+3) = 7x + 10{,}5$

Ainsi, on obtient la situation suivante :

2. La fonction devient alors :

$y = \dfrac{-6{,}5}{2x+3} + 3{,}5$

On a donc la règle de la fonction sous sa forme générale!

2. Forme générale vers forme canonique. Pour obtenir la forme canonique, on divise $a$ par $b$ en laissant le reste de l'équation intacte.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension. Considérons la fonction suivante dans sa forme générale :

$y = \dfrac{9}{2x+4} + 5$

1. On doit d'abord déterminer la valeur du $b$ grâce à une mise en évidence simple :

$y = \dfrac{9}{2x+4} + 5 \text{ deviendra } y = \dfrac{9}{2\cdot(x+2)} + 5$

2. Maintenant que le $b$ est identifié, on va simplement diviser $a$ par $b$ :

$y = \dfrac{9}{2\cdot(x+2)} + 5 \text{ deviendra } y = \dfrac{4{,}5}{x+2} + 5$

On obtient alors la forme canonique!

2.4.2 – La représentation graphique d'une fonction rationnelle

Dans sa forme canonique, une fonction rationnelle a les caractéristiques suivantes :

• La courbe, nommée hyperbole, est formée de deux branches symétriques.
• Les hyperboles tendent vers les asymptotes. On dit qu'une fonction tend vers quelque chose lorsqu'elle s'en approche sans jamais l'atteindre, en se dirigeant vers l'infini.
• L'asymptote verticale est donnée par la règle $x = h$.
• L'asymptote horizontale est donnée par la règle $y = k$.
• Le point de rencontre des deux asymptotes correspond à la coordonnée $(h, k)$.
• Un $a$ négatif se traduit par une réflexion (horizontale ou verticale) des branches.

Pour tracer une fonction rationnelle (ce qui est difficile à faire à la main), on place donc les deux asymptotes, puis on cherche à placer un maximum de points dans le graphique pour guider notre main dans le plan cartésien.

2.4.3 – Recherche de la règle d'une fonction rationnelle

Même si la fonction rationnelle a deux branches, sa règle n'est pas plus compliquée à déterminer que les autres fonctions vues dans ce chapitre. Les étapes sont relativement simples et intuitives :

1. Déterminer la coordonnée du point de rencontre des asymptotes.
2. Identifier un autre point dans la fonction (n'importe quelle branche).
3. Remplacer $h$ et $k$ par les coordonnées du centre de l'hyperbole (le point de rencontre des asymptotes).
4. Remplacer $x$ et $y$ par la $2^e$ coordonnée pour déterminer $a$.

Voici un exemple pour faciliter votre compréhension.

1. On détermine la coordonnée du centre de l'hyperbole ainsi qu'un autre point.

2. On remplace $h$ et $k$ par les coordonnées du centre de l'hyperbole :

$y = \dfrac{a}{x-h} + k \text{ deviendra } y = \dfrac{a}{x-6} - 4$

3. On remplace $x$ et $y$ par le deuxième point pour déterminer la valeur de $a$ :

$y = \dfrac{a}{x-6} - 4 \text{ deviendra } -5 = \dfrac{a}{8-6} - 4$

$-5 = \dfrac{a}{2} - 4$

$-1 = \dfrac{a}{2}$

$-2 = a$

La valeur de $a$ est donc $-2$.

4. On écrit la règle complète de la fonction :

$y = \dfrac{-2}{x-6} - 4$

2.4.4 – Résolution d'une fonction rationnelle

Contrairement à la fonction valeur absolue, la fonction rationnelle ne produit qu'une seule réponse par résolution. La seule particularité de la fonction rationnelle est son incapacité à produire une réponse au centre de l'hyperbole $(h, k)$.

Pour résoudre une fonction rationnelle, il suffit d'isoler la variable souhaitée en :

1. Simplifiant l'expression algébrique au maximum (PEDMAS).
2. Isolant la variable (PEDMAS à l'envers).

Les exercices reliés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 67, # 1adg, 2bc, 3cdf, 4bf, 6adfh, 7ab, 8, 9c, 10adg, 12, 14, 18, 19 et 21.