Section 2.3 – La fonction valeur absolue

Si on la compare à la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue est beaucoup plus simple. Toutefois, elle comporte ses particularités. Un peu comme pour la fonction quadratique, le fait que la fonction valeur absolue soit symétrique vient ajouter une petite difficulté lors de la recherche de solution. On devra alors interpréter les résultats en fonction de la mise en situation.

2.3.1 – Les propriétés des valeurs absolues

Les valeurs absolues sont des expressions mathématiques qui sont manipulables et décomposables. Ces propriétés nous seront utiles pour simplifier et manipuler les équations des fonctions. Voici les quatre grandes propriétés des valeurs absolues.

1. Une valeur absolue a toujours une valeur positive :

$\vert a \vert \geq 0$

2. La valeur absolue d'un nombre négatif a la même valeur que celle du même nombre positif :

$\vert -a \vert = \vert a \vert$

Ex : $\vert -16 \vert = 16 = \vert 16 \vert$

3. On peut manipuler une valeur absolue comportant une multiplication de la manière suivante :

$\vert a \times b \vert = \vert a \vert \times \vert b \vert$

Ex : $\vert 6 \times -4 \vert = \vert 6 \vert \times \vert -4 \vert$

4. On peut manipuler une valeur absolue comportant une division de la manière suivante :

$\left\vert \dfrac{a}{b} \right\vert = \dfrac{\vert a \vert}{\vert b \vert}$

Ex : $\left\vert \dfrac{3}{-4} \right\vert = \dfrac{\vert 3 \vert}{\vert -4 \vert} = \dfrac{3}{4}$

2.3.2 – La règle de la fonction valeur absolue

Comme vu dans la section 2.1, la règle générale de la fonction valeur absolue est la suivante :

$y = a\vert b(x-h)\vert + k$

Grâce aux propriétés des valeurs absolues montrées ci-haut, on peut manipuler cette forme générale pour obtenir la forme canonique :

$y = a\vert b(x-h)\vert + k$

$y = a \cdot \vert b \vert \cdot \vert x-h \vert + k$

$y = a\vert x-h \vert + k$

Notez que dans la forme canonique, le $a$ n'a pas la même valeur que dans la forme générale : il est le résultat de la multiplication $a \cdot \vert b \vert$.

La forme canonique est plus pratique pour tracer la fonction ou déterminer la règle d'une fonction puisqu'elle comporte un inconnu de moins et $(h, k)$ représente le sommet de la fonction.

Voici un exemple pour vous aider à mieux comprendre. Considérons la fonction suivante :

$y = 4\vert -9(x+7) \vert - 6$

Grâce aux propriétés des valeurs absolues, on peut manipuler l'expression de la manière suivante :

$y = 4\vert -9(x+7) \vert - 6$

$y = 4 \cdot \vert -9 \vert \cdot \vert x+7 \vert - 6$

$y = 4 \cdot 9 \cdot \vert x+7 \vert - 6$

$y = 36\vert x+7 \vert - 6$

2.3.3 – Tracer une fonction valeur absolue

Pour tracer une fonction valeur absolue, nous avons seulement besoin de :

• La forme canonique.
• La coordonnée du sommet.
• La coordonnée de deux autres points (un de chaque côté du sommet).

Voici un exemple pour simplifier l'explication. Considérons la fonction identifiée précédemment :

$y = 36\vert x+7 \vert - 6$

1. On utilise la forme canonique pour visualiser la fonction. Puisque le $a$ de la fonction est positif, la fonction sera ouverte vers le haut.

2. On détermine la coordonnée du sommet :

$\text{Sommet} = (-7, -6)$

3. On identifie deux autres points de la fonction en choisissant une valeur de $x$. Idéalement, on choisit une valeur de $x$ de part et d'autre du sommet pour obtenir un point dans chacune des branches de la fonction. Puisque le sommet est à $-7$ sur l'axe des $x$, je choisirai $x = -5$ et $x = -9$ :

$y = 36\vert -5+7 \vert - 6 = 36\vert 2 \vert - 6 = 36 \cdot 2 - 6 = 72 - 6 = 66$

$y = 36\vert -9+7 \vert - 6 = 36\vert -2 \vert - 6 = 36 \cdot 2 - 6 = 72 - 6 = 66$

Puisque les deux valeurs de $x$ choisies sont à la même distance du sommet, il est normal d'obtenir la même valeur de $y$.

4. On place les trois points dans le graphique et on trace la fonction :

2.3.4 – Recherche de la règle d'une fonction valeur absolue

Pour trouver la règle d'une fonction valeur absolue, on doit :

1. Utiliser le modèle canonique pour la règle.
2. Déterminer la coordonnée du sommet.
3. Identifier un point et utiliser ses coordonnées $(x, y)$ pour déterminer le $a$ de la fonction.

Voici un exemple pour faciliter la compréhension. Considérons la fonction suivante :

1. On détermine d'abord la coordonnée du sommet et d'un autre point.

2. On remplace $h$ et $k$ par les coordonnées du sommet :

$y = a\vert x-h \vert + k \text{ devient } y = a\vert x-4 \vert + 3$

3. On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du deuxième point :

$y = a\vert x-4 \vert + 3 \text{ où } (6, -1) \text{ devient } -1 = a\vert 6-4 \vert + 3$

4. On simplifie l'équation et on isole $a$ :

$-1 = a\vert 2 \vert + 3$

$-1 = 2a + 3$

$-4 = 2a$

$-2 = a$

5. On obtient donc la règle suivante :

$y = -2\vert x-4 \vert + 3$

2.3.5 – Résolution d'une équation valeur absolue

Contrairement aux autres types de fonction, les fonctions valeur absolue ne peuvent pas être simplifiées en suivant exactement la même démarche. En effet, puisque la valeur absolue n'est pas une opération mathématique ayant une opération contraire (comme le contraire de la multiplication est la division), on ne peut pas simplifier si facilement.

Lorsqu'on arrive avec l'équation simplifiée au maximum, on arrive à une situation qui pourrait ressembler à ceci :

$4 = \vert x - 2 \vert$

Puisqu'on ne peut pas « annuler » la valeur absolue, on doit tenter de trouver les deux valeurs possibles qui donneraient 4 dans la valeur absolue, c'est-à-dire 4 ou -4. On obtient donc les nombres 6 et -2, qu'on peut tester dans les deux équations suivantes :

Test avec $x = 6$	Test avec $x = -2$
$4 = \vert 6-2 \vert$	$4 = \vert -2-2 \vert$
$4 = \vert 4 \vert$	$4 = \vert -4 \vert$
$4 = 4$	$4 = 4$

On comprend donc que la résolution d'équations valeur absolue va toujours générer deux solutions (ou aucune solution dans le cas de valeurs négatives).

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 : p. 53, # 1af, 2af, 3af, 4a2568, 5ace, 6aceg, 8b, 12ac, 15a1, 16, 17ac, 22, 26 et 30.