1.1 Les exposants et les racines

Dans cette section, nous tenterons de consolider certaines notions mathématiques en lien avec les exposants et les racines. Ces notions seront essentielles à la suite des choses et seront utiles dans la majorité des chapitres cette année.

Voici cinq cas particuliers liés aux exposants :

1. L'exposant d'une base représente le nombre de fois où il sera multiplié par lui-même, la réponse de cette opération s'appelle la puissance.
2. Une base affectée de l'exposant 0 vaut toujours 1

$3^0 = 1$

3. Une base affectée de l'exposant 1 vaut toujours la base elle-même

$3^1 = 3$

4. Une base affectée d'un exposant négatif peut être changée en sa fraction inverse affectée d'un exposant positif, et vice-versa.

$3^{-2} = \dfrac{3^{-2}}{1} = \dfrac{1}{3^2} \qquad \text{ou} \qquad \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3}$

5. Une base affectée d'un exposant fractionnaire peut habituellement être convertie en racine. Le dénominateur de l'exposant fractionnaire représente la valeur de la racine.

$3^{1/2} = \sqrt{3} \qquad \text{ou} \qquad 4^{2/3} = \sqrt[3]{4^2}$

Exemples :

$36^{1/2} = \sqrt{36} = 6 \qquad\qquad 5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}$

Sur la calculatrice, on a souvent des touches dédiées aux exposants 2 et 3 (exprimés $x^2$ et $x^3$) et une touche pour entrer n'importe quel exposant (exprimé $y^x$ ou ^).

Racines

Les racines sont les opérations contraires des exposants. La racine de base est la racine carrée. La racine carrée ($\sqrt{\ }$) est l'opération contraire de l'exposant 2, la racine cubique ($\sqrt[3]{\ }$) est l'opération contraire de l'exposant 3, et ainsi de suite.

Il est parfois plus facile de voir les racines comme des questions :

• Lorsqu'on voit $\sqrt{16} = \,?$, on pourrait penser : quel nombre au carré donne 16? À cette question, 4 est la réponse.
• Lorsqu'on voit $\sqrt[3]{64} = \,?$, on pourrait penser : quel nombre à l'exposant 3 (au cube) donne 64? À cette question, 4 est aussi la réponse.

Les exercices liés à la section 1.1 sont disponibles sur Classroom.