3.1 Manipulations d'expressions algébriques

Dans le chapitre 3, nous aurons l'occasion de revoir plusieurs concepts vus cette année, mais aussi plusieurs concepts que vous maîtrisez déjà depuis l'an passé. La section 3.1 a comme objectif de dépoussiérer ces concepts, mais aussi d'introduire de nouvelles méthodes pour manipuler des expressions algébriques.

3.1.1 Simplification d'expressions algébriques

Pour simplifier une expression algébrique, on peut procéder de plusieurs manières :

Additionner ou soustraire les termes semblables. Pour y arriver, il suffit d'additionner ou de soustraire le coefficient des termes semblables, c'est-à-dire les termes qui portent les mêmes variables affectées des mêmes exposants.

Ex. :

$14x^2y^3 + 5x^4y^5 + 2x^2y^3 + 6x^4y^5 = \big(5x^4y^5 + 6x^4y^5\big) + \big(14x^2y^3 + 2x^2y^3\big) = 11x^4y^5 + 16x^2y^3$

Effectuer les multiplications et divisions pertinentes. Une notion importante à ne pas oublier lors des multiplications et divisions d'expressions algébriques est une expression que vous avez entendue souvent l'an passé : « les chiffres avec les chiffres, les lettres avec les lettres ». D'autres concepts importants couverts cette année sont les lois des exposants ; il faut les garder en tête lors de ces opérations.

Ex. : $3z \cdot 4xy = 12xyz$

Ex. : $\dfrac{6x^4y^6}{3xy^4} = 2x^{4-1}y^{6-4} = 2x^3y^2$

Éliminer les parenthèses portant des exposants. Comme nous l'avons couvert dans le chapitre 1 cette année, on peut éliminer des parenthèses en distribuant le ou les exposants qui « attendent » à l'extérieur de celle-ci. Rappel : une racine est essentiellement une parenthèse, mais l'exposant de la racine s'inverse lorsqu'on le transforme en exposant.

Ex. : $(4x^2y^3)^2 = 4^2 x^{2 \cdot 2} y^{3 \cdot 2} = 16x^4y^6$

Ex. : $\sqrt[3]{x^6} = (x^6)^{1/3} = x^{6 \cdot 1/3} = x^2$

Essaie les deux exercices suivants et corrige-toi avec la vidéo :

1. Réduis l'expression $6x^2 - 7x + 4y - 11 + 12x + 5x^2 + 14$
2. Réduis l'expression $64x^3y^5z^4 \div 16xy^3z^4$

📺 Vidéo 3.1 – 1 et 3.1 – 2

3.1.2 Développement d'expressions algébriques

Parfois, pour pouvoir amener une expression algébrique dans une forme plus utilisable, il faut la développer à la place de la simplifier. Pour développer une expression algébrique, il faut bien souvent effectuer les multiplications qui sont disponibles. Voici les trois grandes situations où cela peut se produire :

1. Un coefficient qui multiplie un polynôme. Cette situation, assez simple, implique de distribuer le coefficient à tous les termes du polynôme. Rappel : un terme est un « morceau » d'une expression algébrique délimité par un + ou un -.

$3(2x + 4xy + 6z^2) = 6x + 12xy + 18z^2$

2. Un monôme qui multiplie un polynôme. Encore une fois, le concept « les chiffres avec les chiffres, les lettres avec les lettres », ainsi que les lois des exposants, s'appliquent.

$4x^2(2x^2 + 4xy + 6) = 8x^4 + 16x^3y + 24x^2$

3. Un polynôme qui multiplie un autre polynôme (ou un polynôme qui se multiplie par lui-même). Alors que vous maîtrisez déjà les deux concepts précédents, la multiplication de deux polynômes est une nouveauté cette année. Le concept n'est pas très complexe, mais il demande une certaine attention pour s'assurer d'obtenir le bon résultat. Comme dans les cas précédents, il faut distribuer les termes multiplicateurs à tous les termes multipliés.

$(2x + 4)(3x^2 + 6x) = 6x^3 + 12x^2 + 12x^2 + 24x = 6x^3 + 24x^2 + 24x$

Essaie l'exercice suivant et corrige-toi avec la vidéo :

Développe l'expression algébrique $(2a + 4)(3a + 4b - 4ab)$

📺 Vidéo 3.1 – 3

3.1.3 Factorisation par mise en évidence simple

Factoriser une expression algébrique consiste à exprimer un polynôme sous la forme d'un produit de facteurs. On cherche donc à transformer une expression algébrique constituée de + et de − en une expression algébrique où un facteur multiplie un polynôme plus simple. Alors qu'il existe plusieurs techniques de factorisation, nous ne verrons que la plus simple cette année.

Effectuer une mise en évidence simple

Prenons comme exemple l'expression suivante : $6x^3 + 18x^2y$

1. Déterminer le plus grand coefficient commun à tous les termes de l'expression algébrique. Il s'agit essentiellement du même processus que le PGCD que vous avez vu en 1ère secondaire. Ici, le plus grand diviseur commun est 6.
2. Déterminer les plus grands degrés de chacune des variables communes à tous les termes. Pour chacun des termes, on identifie les variables qui sont communes et on cherche le plus grand degré commun à tous les termes. Ici, la seule variable commune aux deux termes est $x$ ; son plus grand degré (exposant) commun est 2. La plus grande variable commune est donc $x^2$.
3. « Sortir » les facteurs identifiés à l'extérieur d'une parenthèse et diviser les termes par ce facteur.

$6x^3 + 18x^2y \qquad 6x^3 \div 6x^2 = x \qquad 18x^2y \div 6x^2 = 3y$

$6x^2(x + 3y)$

4. Vérifier la factorisation. Si on le souhaite, on peut toujours valider sa réponse en développant l'expression algébrique obtenue lors de la factorisation.

$6x^2(x + 3y) = 6x^3 + 18x^2y \quad ✓$

Essaie l'exercice suivant et corrige-toi avec la vidéo :

Effectue la mise en évidence simple de l'expression $3r(2r + 1) - r(2r + 1)$

📺 Vidéo 3.1 – 4

Les exercices liés à cette section sont disponibles dans le manuel Vision Vol. 2, p. 96, # 1(bdef), 2(abef), 4(abde), 6, 7(abc), 8, 9, 12(ac), 14, 15, 16, 18, 20.