Section 4.0 – Rappels géométriques

Cette première section du chapitre 4 se veut un outil de référence pour les concepts préalables de géométrie qui vous seront utiles cette année. Il s'agit d'un recueil des formules d'aire des figures planes et de quelques autres concepts nouveaux mais relativement simples à comprendre.

4.0.1 – Formules d'aire des figures planes

Qu'est-ce qu'une aire? L'aire d'un objet est la mesure de sa (ou ses) surface(s) plane(s). On peut penser à l'aire d'une forme comme étant la quantité de peinture qu'il faudrait pour la recouvrir, ou la quantité de papier cadeau qu'il faudrait pour emballer une boîte.

On peut utiliser les formules suivantes pour calculer l'aire des polygones. Les formules varient d'une forme à une autre.

Type de polygone	Formule d'aire	Exemple
Carré — L'aire est le produit de la mesure d'un de ses côtés (c).	$A = c \cdot c$ ou $A = c^{2}$	Pour un côté $c = 3\ cm$ : $A = 3 \cdot 3 = 3^{2} = 9\ cm^{2}$
Rectangle — L'aire est le produit de sa base (b) et de sa hauteur (h).	$A = b \cdot h$	Pour $b = 4\ cm$ et $h = 3\ cm$ : $A = 3 \cdot 4 = 12\ cm^{2}$
Triangle — L'aire est le produit de sa base et de sa hauteur, divisé par deux.	$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$	Pour $b = 5\ cm$ et $h = 4\ cm$ : $A = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\ cm^{2}$
Parallélogramme — L'aire est le produit de sa base et de sa hauteur, comme un rectangle.	$A = b \cdot h$	Pour $b = 11\ cm$ et $h = 7\ cm$ : $A = 11 \cdot 7 = 77\ cm^{2}$
Losange — L'aire est le produit de sa grande diagonale (D) et de sa petite diagonale (d), divisé par deux.	$A = \dfrac{D \cdot d}{2}$	Pour $D = 8\ cm$ et $d = 4\ cm$ : $A = \dfrac{8 \cdot 4}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\ cm^{2}$
Trapèze — L'aire est le produit de la moyenne de ses bases et de sa hauteur.	$A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$	Pour $B = 10\ cm$, $b = 6\ cm$ et $h = 4\ cm$ : $A = \dfrac{(6+10)\cdot 4}{2} = \dfrac{16 \cdot 4}{2} = \dfrac{64}{2} = 32\ cm^{2}$
Polygone à plus de 4 côtés — L'aire est le produit de l'apothème, de la mesure d'un côté et du nombre de côtés, le tout divisé par deux.	$A = \dfrac{n \cdot c \cdot a}{2}$	Pour $n = 5$ côtés, $c = 6\ cm$ et $a = 7\ cm$ : $A = \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 7}{2} = \dfrac{210}{2} = 105\ cm^{2}$

4.0.2 – Formules relatives aux cercles

Circonférence :

En utilisant $\Pi$ et en l'intégrant à une formule qui lie le diamètre et la circonférence, on peut dériver deux formules cruciales :

$C = \Pi \cdot d$

où $C$ représente la circonférence et $d$ le diamètre.

$C = 2 \cdot \Pi \cdot r$

où $r$ représente le rayon du cercle.

À l'aide de ces deux formules, on peut donc calculer la circonférence d'un cercle.

Aire :

Contrairement au calcul de la circonférence, seulement une formule peut être utilisée pour calculer l'aire d'un cercle. Encore une fois, cette formule fait appel à la valeur $\Pi$.

La formule de l'aire du cercle est :

$A = \Pi \cdot r^{2}$

où $A$ représente l'aire du cercle et $r$ représente le rayon du cercle.

Les secteurs des cercles :

Alors que les calculs relatifs à des sections de polygones sont plus simples, que ce soit pour le périmètre ou l'aire, ces calculs deviennent moins évidents avec les cercles. Pour cette raison, nous utiliserons le concept du secteur d'un cercle.

Secteur : le secteur d'un cercle est une partie du cercle établie par l'angle au centre de cette partie. Alors que le cercle entier représente $360^{o}$, un secteur représente un angle plus faible (entre $1^{o}$ et $359^{o}$).

On peut utiliser le secteur d'un cercle pour calculer l'arc d'un secteur ou encore l'aire d'un secteur.

Arc d'un secteur : l'arc d'un secteur représente la partie de la circonférence d'un cercle qui correspond au secteur du cercle.

Pour calculer l'arc d'un secteur, on combine le calcul de la circonférence ($C = 2\Pi r$ ou $C = \Pi d$) et le calcul de proportions (produit croisé — chapitre 2.1). On pourra utiliser la formule suivante :

$\dfrac{\text{Circonférence du cercle}}{360\ degrés} = \dfrac{\text{Arc du secteur}}{\text{Angle du secteur}}$

Pour calculer l'aire d'un secteur, la technique est très semblable à celle de l'arc d'un secteur. On combine le calcul de l'aire d'un cercle ($A = \Pi r^{2}$) et les proportions. On pourra alors utiliser la formule suivante :

$\dfrac{\text{Aire du cercle}}{360\ degrés} = \dfrac{\text{Aire du secteur}}{\text{Angle du secteur}}$

4.0.3 – Extraire une mesure à partir de l'aire

À l'aide de vos habiletés algébriques, il est possible d'extraire des informations manquantes à partir de formules d'aires. Avec la technique des opérations inverses, on peut déterminer une mesure manquante lorsque l'aire d'une figure est connue.

Voici comment faire :

Considérons la situation suivante : on connaît l'aire du triangle et la mesure de sa base, mais on ignore sa hauteur.

1. On doit d'abord écrire la formule de l'aire d'un triangle et y inscrire les informations connues.

$A = \dfrac{b \cdot h}{2} \quad\text{où}\quad A = 48\ cm^{2} \text{ et } b = 12\ cm$

$48 = \dfrac{b \cdot 12}{2}$

2. On isole ensuite la variable inconnue à l'aide de la technique des opérations inverses.

$2 \cdot 48 = \dfrac{b \cdot 12 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2}} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{96}{12} = \dfrac{b \cdot \cancel{12}}{\cancel{12}} \quad\Rightarrow\quad 8 = b$

La hauteur mesure donc 8 cm.

Exercice

Détermine la mesure manquante dans la figure suivante.