Section 4.2 – Le théorème de Pythagore ★ Top 10

Assurément, vous avez déjà entendu le nom de Pythagore. Ce mathématicien et philosophe grec est connu pour son fameux « Théorème de Pythagore » et plusieurs autres découvertes en médecine, en musique et même en astronomie. Malheureusement pour sa réputation, Pythagore n'a pas « découvert » ce théorème — il l'aurait simplement popularisé en Occident, puisque cette relation mathématique était déjà bien connue à Babylone et en Inde.

Dans tous les cas, vous connaissez sûrement le nom de ce théorème, et l'objectif de cette section est de vous familiariser avec cette relation mathématique qui, comme vous le verrez, n'est pas si compliquée!

Théorème : affirmation mathématique ou logique qui peut être démontrée.

4.2.1 – Le théorème

Le théorème de Pythagore se lit comme suit (c'est ma version) :

Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés de ses deux côtés adjacents.

Cela semble bien imposant comme phrase, alors prenons le temps de la décortiquer.

1. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.
2. Les côtés adjacents de l'hypoténuse sont les deux côtés qui bordent l'hypoténuse.
3. Par le « carré de l'hypoténuse » et les « carrés des côtés adjacents », on réfère au carré qu'il serait possible de former à partir de la mesure de chacun des côtés.

Lorsqu'on transforme le théorème en une équation, on obtient :

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

où :

• $a$ représente l'un des côtés adjacents (pour moi, le $a$ est toujours le plus petit des deux);
• $b$ représente l'autre côté adjacent (pour moi, $b$ est toujours le plus grand des deux);
• $c$ représente l'hypoténuse.

On peut l'utiliser sur l'image précédente :

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

$9 + 16 = 25$

$25 = 25$

Ainsi, on confirme le théorème de Pythagore!

Vidéo Pythagore eau

L'une des façons les plus originales de démontrer le théorème, présentée en vidéo.

4.2.2 – Les applications du théorème

Évidemment, on peut aussi utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer une mesure manquante dans un triangle rectangle (c'est l'application classique). Mais il ne faut pas oublier que ce théorème est pertinent dans plusieurs autres domaines où des axes à $90^{o}$ l'un de l'autre sont présents — on peut notamment penser à un plan quadrillé. Voici donc deux exemples d'application du théorème de Pythagore.

Comment déterminer la mesure manquante d'un triangle rectangle

1. Attribuer les variables $a$, $b$ et $c$ aux trois côtés du triangle. Puisque le côté de $250\ m$ est opposé à l'angle droit, on lui attribue $C$. Puisque le côté de $138\ m$ semble être le plus court, on lui attribue $A$. Le côté dont la mesure est inconnue sera donc $B$.

2. Isoler la variable associée au côté inconnu. Puisqu'on ne connaît pas $B$, on souhaite isoler cette variable :

$a^{2} + b^{2} = c^{2} \quad\Rightarrow\quad b^{2} = c^{2} - a^{2}$

3. Placer les valeurs connues dans la formule et déterminer la mesure manquante.

$b^{2} = c^{2} - a^{2}$

$b^{2} = 250^{2} - 138^{2}$

$b^{2} = 62\,500 - 19\,044$

$b^{2} = 43\,456$

$\sqrt{b^{2}} = \sqrt{43\,456}$

$b = 208,46\ m$

Le côté $B$ mesure donc 208,46 mètres!

Comment déterminer la distance entre deux points dans un plan cartésien

1. Pour déterminer la distance entre les deux points, on commence par tracer le triangle rectangle qu'ils forment avec les axes des $x$ et des $y$ (il y a deux options ici).

2. On détermine les longueurs des côtés $a$ et $b$. Ici, le côté $a$ est associé à l'axe des $y$ et le côté $b$ est associé à l'axe des $x$. Dans chaque cas, on souhaite trouver la différence entre les valeurs ($\Delta x$ et $\Delta y$).

Nos coordonnées sont $(4, 10)$ et $(14, 4)$ :

$\Delta x = 14 - 4 = 10 \qquad \Delta y = 10 - 4 = 6$

On souhaite toujours obtenir des valeurs positives ici.

3. Associer les mesures trouvées à l'étape précédente aux côtés $a$ et $b$.

4. À l'aide du théorème de Pythagore, on détermine la distance entre les deux points.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$6^{2} + 10^{2} = c^{2}$

$36 + 100 = c^{2}$

$136 = c^{2}$

$\sqrt{136} = \sqrt{c^{2}}$

$11,66 = c$

Donc la distance entre les deux points est de 11,66 unités!

Exercices

Réponds aux deux questions suivantes, puis corrige-toi à l'aide des vidéos.

1. Détermine la mesure de la hauteur du triangle suivant.

2. Détermine la distance entre les deux points suivants.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision 1 : p. 32, activité 1; p. 38 # 5, 8 à 12, 14, 16, 17, 20, 27.