Section 7.0 – Rappels

Pour notre dernier chapitre de l'année, nous couvrirons un sujet qui est, selon moi, très intéressant et divertissant. Bien que ce ne soit pas un sujet très difficile, au niveau où nous le pratiquerons, ce chapitre comporte beaucoup de termes et de méthodes qui sont essentiels à une bonne maîtrise de la matière. C'est pourquoi nous prendrons du temps pour effectuer une révision des concepts préalables. Cette section comportera quatre sous-sections survolant les concepts essentiels.

7.0.1 – Les expériences aléatoires

Les expériences aléatoires sont au cœur de la majorité des problèmes de statistiques. Elles forment la situation initiale et l'événement principal de la quasi-totalité des situations qui seront vues dans ce chapitre.

Une expérience est aléatoire si :

• Son résultat dépend du hasard et d'aucun autre facteur. Il est impossible de prédire avec certitude le résultat d'une telle expérience. Ex : lorsqu'on lance un dé à 6 faces, on ne peut pas prédire sur quelle face il tombera.
• On peut connaître, avant l'expérience, l'univers des résultats possibles. Cet ensemble de résultats possibles se note $\Omega$ et se lit « oméga ». Ex : lorsqu'on lance un dé à six faces, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Univers des résultats possibles : c'est l'ensemble des résultats que peut produire une expérience aléatoire. Il y a, par exemple, un nombre limité de cartes dans un jeu de cartes. On connaît donc tous les résultats possibles lorsqu'on y pige une carte.

7.0.2 – Les évènements

Lors d'une expérience aléatoire, il se peut que l'on souhaite que certains résultats arrivent ou non. Par exemple, lorsqu'on joue au Monopoly, certains déplacements pourraient être désastreux pour notre portefeuille. Ces résultats souhaités ou non sont dénommés évènements.

Évènement : un évènement est un sous-ensemble de l'univers des résultats possibles.

Ex : pour gagner une partie de Monopoly, il faut lancer un 6 ou un 4 lors du prochain lancer de dé. L'évènement A « Obtenir un 4 ou un 6 » contient les résultats 4 et 6 sur $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, donc $A = \{4, 6\}$.

Un évènement contenant une seule possibilité se nomme évènement élémentaire. Tous les évènements contenant plusieurs possibilités peuvent être analysés comme une combinaison de plusieurs évènements élémentaires.

7.0.3 – La probabilité d'un évènement

Lorsqu'on souhaite déterminer la probabilité qu'un évènement se produise, il faut considérer trois choses importantes :

1. La probabilité qu'un évènement se produise lors d'une expérience unique se calcule ainsi :

$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Résultats souhaités}}{\text{Univers des possibilités}} \cdot 100$

Ex : quelle est la probabilité d'obtenir un 2 ou un 4 en lançant un dé à six faces?

$P = \dfrac{2}{6} \cdot 100$

$P = 33,33\,\%$

2. Lors d'un évènement où plusieurs éléments élémentaires nous satisfont (Ex : obtenir un valet ou une carte de cœur en pigeant dans un jeu de 52 cartes), on additionne les probabilités de ces évènements élémentaires.

Ici, l'élément clé à retenir est l'utilisation du mot ou dans la phrase « Obtenir un valet ou une carte de cœur ». On associe le ou à une addition en probabilité.

Ex : quelle est la probabilité d'obtenir un valet ou une carte de chiffre de cœur en pigeant dans un jeu de 52 cartes?

Considérons d'abord les probabilités de chacun des deux évènements élémentaires.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir un valet dans un jeu de 52 cartes? Il y a 4 valets dans un jeu de cartes, donc :

$P = \dfrac{4}{52} \cdot 100$

$P = 7,69\,\%$

2. Quelle est la probabilité d'obtenir une carte de chiffre de cœur dans un jeu de cartes? Il y a 9 chiffres de cœur dans un jeu de cartes ($\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$), donc :

$P = \dfrac{9}{52} \cdot 100$

$P = 17,3\,\%$

3. On utilise finalement l'addition puisqu'on cherche un évènement OU l'autre :

$P = 7,69\,\% + 17,3\,\%$

$P = 25\,\%$

On a donc 25 % de chance de tirer un valet ou un chiffre de cœur dans un jeu de 52 cartes.

3. Lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes (ex : obtenir « Face » en lançant une pièce et obtenir un 5 lors du lancer d'un dé), les chances diminuent habituellement. En effet, la probabilité d'obtenir un premier résultat favorable combinée à la probabilité d'obtenir un autre résultat favorable rend une telle combinaison plus rare.

Ici, l'élément clé à retenir est l'utilisation du mot et dans la phrase « Obtenir "Face" et 5 ». On associe le et à une multiplication en probabilité.

Ex : quelle est la probabilité d'obtenir « Face » en lançant une pièce et obtenir un 5 lors du lancer d'un dé à 6 faces?

Comme précédemment, on calcule d'abord la probabilité de chaque évènement élémentaire :

1. Quelle est la probabilité d'obtenir « Face » en lançant une pièce?

$P = \dfrac{1}{2} \cdot 100 = 50\,\%$

2. Quelle est la probabilité d'obtenir un 5 lors du lancer d'un dé à 6 faces?

$P = \dfrac{1}{6} \cdot 100 = 16,66\,\%$

3. On peut donc combiner les deux probabilités à l'aide d'une multiplication :

Attention!!!

Lorsqu'on multiplie des probabilités (en %), on doit toujours utiliser la valeur décimale ou la fraction qui représente ce pourcentage.

$P = 0,5 \cdot 0,1666$

$P = 0,0833 \text{ ou } 8,33\,\%$

On a donc 8,33 % de chance d'obtenir « Face » et un 5.

7.0.4 – Les expériences et évènements particuliers

Alors que la plupart des expériences aléatoires simples n'ont pas d'influence entre elles, il existe plusieurs situations où un premier évènement aura une influence sur les probabilités du deuxième. Dans le premier cas, on dira que les deux évènements sont indépendants, alors que dans le deuxième, on dira qu'ils sont dépendants.

Indépendant : lorsqu'on obtient un 4 en roulant un dé, les chances d'obtenir à nouveau 4 ne sont pas différentes du premier lancer.

Dépendant : lorsqu'on pige un valet d'un paquet de cartes, les chances de tirer un autre valet sont diminuées (il reste moins de valets dans le jeu).

La plupart des évènements dépendants surviennent lors d'expériences sans remise. C'est-à-dire que lorsqu'un évènement particulier se produit, cette possibilité est éliminée de l'univers des possibles pour la prochaine expérience.

Ex : lorsqu'on joue au Poker, si on reçoit un 4 de pique, il n'y a plus de 4 de pique dans le jeu.

Essayons ensemble l'expérience suivante : quelle est la probabilité de tirer deux dames dans un jeu de 52 cartes si on ne remet pas les cartes entre les tirages?

1. On calcule d'abord la probabilité de tirer une première dame.

$P = \dfrac{4}{52} \cdot 100$

$P = 7,69\,\%$

2. On calcule ensuite la probabilité de tirer une deuxième dame si on ne remet pas la première qui aurait été pigée.

$P = \dfrac{3 \text{ (puisqu'il ne reste que 3 dames)}}{51 \text{ (puisqu'il y a une carte de moins dans le paquet)}} \cdot 100$

$P = \dfrac{3}{51} \cdot 100$

$P = 5,88\,\%$

3. On calcule la probabilité de l'évènement combiné. On utilisera la multiplication puisqu'on souhaite piger une dame ET une autre dame :

$P = 0,0769 \cdot 0,0588$

$P = 0,00452 \text{ ou } 0,452\,\%$

Les probabilités qu'un tel évènement se produise sont donc de moins d'1 % !

Exercice

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair lors du lancer d'un dé à 6 faces et de tirer une carte de pique d'un jeu de 52 cartes?

Corrige-toi à l'aide de la vidéo suivante.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le document disponible sur Classroom.