Section 6.3 – Le diagramme de quartiles
Maintenant que vous maîtrisez l'organisation des données en plusieurs diagrammes plus répandus, nous nous intéresserons à un type de diagramme plus marginal, mais qui apporte une lecture différente d'un ensemble de données. Dans cette section, nous découvrirons le diagramme de quartiles.
6.3.1 – Qu'est-ce qu'un diagramme de quartiles?
Le diagramme de quartiles est une manière de disposer les données en fonction de leur position dans l'ensemble de données, et non en fonction de leur valeur. Alors que les diagrammes vus en 6.2 s'intéressent à la valeur d'une donnée pour la classer, le diagramme en quartiles s'intéresse à la position de chaque valeur par rapport à trois médianes.
Médiane : une médiane est une valeur qui sépare également un ensemble de nombres.
Ex : dans l'ensemble de nombres suivant :
8 est la valeur médiane, puisque c'est la valeur au centre de l'échantillon.
Calculer une médiane :
Pour calculer une médiane, on peut appliquer la formule simple suivante :
Dans la situation où la médiane est un nombre à virgule (habituellement 0,5), on fait la moyenne des deux données qui bordent la médiane.
Voici comment calculer la médiane d'un ensemble de données :
Considérons l'ensemble de données suivant :
1. Déterminer la position de la médiane. On utilise la formule :
On sait donc que la médiane se trouve au rang de l'ensemble de données.
2. Identifier la position de la médiane dans l'ensemble de nombres. (Si la médiane était « arrivée » entre deux valeurs, on aurait simplement calculé la moyenne des deux valeurs qui bordent la position de la médiane.)
La médiane est donc de 73.
Maintenant que vous savez comment calculer des médianes, on peut identifier celles-ci sur la structure du diagramme de quartiles :
Dans cette image, on note que les limites de la boîte centrale correspondent à Q1 et Q3, alors que le centre de la boîte correspond à Q2.
- Le 2e quartile (Q2) correspond à la médiane de l'ensemble de données.
- Le 1er quartile (Q1) correspond à la médiane de toutes les données à gauche de Q2.
- Le 3e quartile (Q3) correspond à la médiane de toutes les données à droite de Q2.
Les deux lignes verticales aux limites du diagramme correspondent à la plus petite et à la plus grande donnée de l'ensemble.
6.3.2 – La construction d'un diagramme de quartiles
Pour construire un diagramme de quartiles, il faut :
- des données quantitatives (continues ou discrètes) en ordre croissant;
- un axe gradué en fonction de l'étendue des données (peut être tronqué au besoin);
- savoir déterminer la position d'une médiane.
Pour illustrer le processus de construction d'un diagramme de quartiles, nous réutiliserons l'ensemble de données de l'exemple précédent.
Objectif : construire un diagramme de quartiles correspondant à l'ensemble de données suivant :
1. Pour l'instant, nos données répondent au premier critère, puisqu'il s'agit de données quantitatives et que les données sont déjà placées en ordre croissant. Si elles n'étaient pas déjà placées, il serait important de le faire.
2. On doit maintenant tracer un axe gradué qui tient compte de l'étendue de nos données (la différence entre la plus grande et la plus petite donnée). On remarque ici que l'axe est tronqué, puisque la section entre 0 et 35 est inutile pour le diagramme.
3. Déterminer la position du 2e quartile (Q2). Pour déterminer la position des quartiles, il faut absolument commencer par déterminer la position de Q2. Puisque la position de Q2 a été déterminée plus haut (voir section 6.3.1), nous utiliserons directement le résultat.
4. Déterminer la position de Q1 et Q3. Puisque Q2 divise notre ensemble de nombres en deux sous-ensembles, déterminer la position de Q1 et Q3 revient à déterminer la position de la médiane dans chacun de ces sous-ensembles. Q1 se trouvera donc au centre du groupe de gauche et Q3 se trouvera au centre du groupe de droite. Puisque chaque sous-ensemble compte le même nombre de données, on effectue le calcul de médiane une seule fois :
Q1 et Q3 se trouvent donc à la position des sous-groupes de gauche et de droite.
5. Placer les trois quartiles et les deux valeurs aux extrémités sur l'axe gradué. Et voilà!
6.3.3 – L'interprétation d'un diagramme de quartiles
Face à un diagramme de quartiles, il peut être difficile de comprendre ce qu'on observe. On ne connaît que 5 valeurs associées à l'ensemble de données, alors qu'il peut y avoir des dizaines, voire des centaines de données. Il faut donc comprendre ce qu'on voit lorsqu'on regarde un diagramme de quartiles.
D'abord, il faut comprendre que le diagramme de quartiles est divisé en quarts. Q1, Q2 et Q3 séparent l'ensemble de données en quatre sous-ensembles contenant le même nombre de données.
Sachant cela, on peut tirer des conclusions par rapport à la proximité des résultats dans chaque sous-ensemble de données :
- L'ensemble 1 représente le groupe où les données sont les plus éloignées les unes des autres.
- L'ensemble 3 représente le groupe où les données sont les plus rapprochées.
- Les groupes 2 et 4 ont un étalement de données similaire.
- L'étendue interquartile () est de 17, ce qui est relativement faible par rapport à l'étendue totale de 55.
Une multitude de conclusions peuvent être tirées en analysant un diagramme de quartiles. Il faut toutefois garder à l'esprit qu'un quart qui occupe plus d'espace qu'un autre ne contient pas plus de données — les données qui le composent sont simplement plus éloignées les unes des autres.
À corriger à l'aide de la vidéo par la suite.
À la fin de la saison 2017-2018, les équipes de la LNH avaient accumulé les points suivants :
Produis un diagramme de quartiles, puis détermine dans quel quartile les équipes étaient les plus près l'une de l'autre.
Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2 : p. 157 # 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 13, 14.