Section 7.1 – Permutations, arrangements et combinaisons

Après avoir couvert les bases du langage des probabilités et les techniques de base pour calculer les chances qu'un évènement quelconque se produise, nous nous intéresserons aux arrangements, aux permutations et aux combinaisons possibles. Dans plusieurs situations, le calcul de l'univers des possibles est complexe (pensez à un arbre des probabilités à trois ou quatre niveaux). Nous verrons donc qu'il existe des moyens plus simples de calculer l'univers des possibles de plusieurs situations.

7.1.1 – Les permutations

Une permutation est une disposition ordonnée des éléments DIFFÉRENTS d'un ensemble. Cette définition est difficile à saisir sans exemple…

Ex : les mots LAPIN, NALIP, PALIN et LIPAN sont des permutations des lettres A-I-L-N-P.

Une permutation est donc un arrangement sans répétitions d'un nombre déterminé d'éléments qui sont tous DIFFÉRENTS. Pour que deux permutations se distinguent, seul l'ordre dans lequel les éléments sont placés compte.

On détermine le nombre de permutations possibles comme suit :

$\text{Nombre de permutations possibles} = \big(\text{éléments à la } 1^{re} \text{ position}\big) \times \big(\text{éléments à la } 2^e \text{ position}\big) \times \cdots \times \big(\text{éléments à la } n^e \text{ position}\big)$

$\text{Nombre de permutations possibles} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$

Essayons ensemble d'appliquer cette formule. Considérons la situation suivante : pour se vêtir durant les cinq jours où il enseigne, Marc-Antoine peut choisir entre cinq chemises différentes, soit : bleue, rouge, verte, grise ou noire. Il se demande combien de semaines il pourrait passer sans porter les chemises dans le même ordre.

1. On commence par évaluer le nombre d'éléments pouvant être choisis et le nombre de jours possibles. On a 5 éléments à choisir ($n = 5$) et 5 jours (donc 5 positions).
2. On calcule maintenant le nombre de permutations possibles :

$\text{Permutations} = (n) \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)$

$\text{Permutations} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$\text{Permutations} = 120$

Marc-Antoine pourrait donc enseigner 120 semaines sans jamais faire deux semaines avec la même suite de chemises!

7.1.2 – Les arrangements

Un arrangement est une disposition ordonnée des éléments PAS NÉCESSAIREMENT DIFFÉRENTS d'un ensemble. Les arrangements sont plus fréquents avec des nombres.

Ex : les codes 123, 112, 113, 121, etc. sont quelques exemples des arrangements possibles de codes utilisant les nombres 1-2-3.

Un arrangement est donc une disposition différente d'un nombre déterminé d'éléments. Pour que deux arrangements se distinguent, les éléments contenus ou l'ordre dans lequel ces éléments sont placés doivent être différents. Le nombre d'arrangements possibles dépend aussi de la possibilité ou non de répéter des éléments.

On détermine le nombre d'arrangements possibles lors d'un évènement sans remise comme suit :

$\text{Nombre d'arrangements possibles} = \big(\text{éléments à la } 1^{re} \text{ position}\big) \times \cdots \times \big(\text{éléments à la } r^e \text{ position}\big)$

$\text{Nombre d'arrangements possibles} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r)$

On détermine le nombre d'arrangements possibles lors d'un évènement avec remise comme suit :

$\text{Nombre d'arrangements possibles} = \big(\text{éléments à la } 1^{re} \text{ position}\big) \times \cdots \times \big(\text{éléments à la } r^e \text{ position}\big)$

$\text{Nombre d'arrangements possibles} = n \times n \times n \times \cdots \times n$

Voici un exemple (je ferai la démarche pour les situations avec remise et sans remise). On cherche les arrangements possibles de nombres à deux chiffres formés avec les éléments suivants : $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

1. On évalue le nombre d'éléments disponibles ainsi que le nombre de positions où ils peuvent être placés. Ici, on a cinq éléments différents qui peuvent être placés à 2 positions différentes.

2. On détermine les arrangements possibles avec remise :

$\text{Nombre d'arrangements} = n \cdot n = 5 \cdot 5 = 25$

Et les arrangements possibles sans remise :

$\text{Nombre d'arrangements} = n \cdot (n-1) = 5 \cdot 4 = 20$

Dans une situation avec remise, on a donc 25 arrangements possibles, alors que sans remise on a 20 arrangements possibles.

7.1.3 – Les combinaisons

Une combinaison est une disposition non ordonnée des éléments DIFFÉRENTS d'un ensemble.

Ex : avec les lettres A-B-C-D, on peut faire, entre autres, les combinaisons (ABC), (ABD), (ACB) et (DAC). Par contre, les combinaisons (ABC) et (ACB) sont semblables puisqu'elles contiennent les mêmes éléments.

Donc, pour que deux combinaisons se distinguent, les éléments contenus doivent être différents — l'ordre dans lequel ces éléments apparaissent n'a aucune importance.

On détermine le nombre de combinaisons possibles comme suit (on peut se rappeler que le calcul du nombre d'arrangements se trouve dans la section 7.1.2 et celui du nombre de permutations dans la section 7.1.1) :

$\text{Nombre de combinaisons} = \dfrac{\text{nombre d'arrangements possibles}}{\text{nombre de permutations d'un arrangement}}$

Voyons un exemple ensemble. Justine peut choisir parmi quatre fruits pour composer ses collations de la journée : une pomme, une banane, une pêche et un kiwi. Elle se demande combien de combinaisons différentes de trois fruits sont possibles.

1. On doit d'abord déterminer le nombre d'arrangements possibles. Si Justine choisit un fruit, il ne peut être choisi à nouveau : il s'agit donc d'un évènement sans remise.

$\text{Nombre d'arrangements} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

2. On détermine maintenant le nombre de permutations à l'intérieur d'un arrangement. Pour y arriver, il suffit d'imaginer un arrangement au hasard, puis de voir les permutations possibles de cet arrangement — ce nombre s'appliquera à tous les arrangements calculés à l'étape 1.

On imagine donc l'arrangement (Pomme, Kiwi, Banane) ou (P, K, B) pour faciliter les choses. On peut permuter les éléments de cet ensemble comme suit : (P,K,B), (P,B,K), (K,B,P), (K,P,B), (B,K,P), (B,P,K). On a donc 6 permutations possibles.

3. On utilise finalement la formule de calcul des combinaisons :

$\text{Nombre de combinaisons} = \dfrac{24}{6} = 4$

Justine a donc 4 possibilités de collations différentes à apporter.

Exercice

On active la fonction « aléatoire » d'un lecteur MP3. Celui-ci constitue alors une liste de 5 chansons choisies parmi les 16 morceaux contenus sur le lecteur. Combien de listes différentes peut-il former si on considère qu'on ne peut répéter les morceaux, mais que leur ordre compte?

Tu peux valider ta réponse auprès de ton enseignant.

Les exercices associés à cette section se trouvent dans le manuel Vision 2, p. 196, # 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 17, 21, 23.