Section 7.3 – Probabilités géométriques

Alors que bien des problèmes de probabilités traitent de situations où toutes les possibilités ont des chances égales de survenir (Ex : « Pile » ou « Face » sur une pièce de monnaie), il en existe bien d'autres où les chances varient énormément entre les différents résultats possibles. Dans plusieurs de ces situations, il est possible de calculer la probabilité qu'un évènement se produise en utilisant des mesures de distance, d'aire ou de volume. Lorsque le calcul de probabilité fait intervenir un rapport de longueurs, d'aires ou de volumes, on parle de probabilité géométrique.

7.3.1 – Les probabilités géométriques à une dimension

Plusieurs situations où des données quantitatives continues sont impliquées peuvent être représentées sur des axes numériques. On peut donc visualiser, en une dimension, l'espace occupé par l'univers des possibles. Du même coup, on peut visualiser l'espace occupé par l'ensemble des évènements qui satisfont à une situation.

On calculera la probabilité géométrique à une dimension ainsi :

$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Longueur associée à l'évènement souhaité}}{\text{Longueur totale}}$

Calculons ensemble la probabilité suivante : Simon s'apprête à lancer une pierre de l'autre côté du boulevard Laurier. Sachant qu'un autobus articulé a une longueur de 23 mètres et que le boulevard Laurier a une longueur de 5,7 km, quelle est la probabilité qu'il lance la pierre sur l'autobus?

1. On doit d'abord faire attention aux unités de mesure données. Puisque les probabilités géométriques font intervenir des longueurs, des aires et des volumes, on doit uniformiser les unités de mesure. On transformera toutes les longueurs en mètres :

$23 \text{ m} = 23 \text{ m} \qquad 5,7 \text{ km} = 5\,700 \text{ m}$

2. On calcule la probabilité de lancer sur l'autobus :

$P = \dfrac{23}{5\,700}$

$P = 0,004 \text{ ou } 0,4\,\%$

7.3.2 – Les probabilités géométriques à deux dimensions

Les probabilités géométriques à deux dimensions sont probablement les plus intuitives à saisir. Pour une surface donnée, plus une zone est grande, plus la probabilité qu'un évènement s'y passe est grande.

Par exemple, si un astéroïde tombe sur la Terre, la probabilité qu'il tombe dans l'eau est plus grande que celle qu'il touche le sol. Cette affirmation nous semble logique puisque nous savons tous que la majorité de la Terre est recouverte d'eau. En réfléchissant à cette situation, vous venez de faire une estimation d'une probabilité géométrique à deux dimensions.

Le calcul de la probabilité géométrique à deux dimensions se fait ainsi :

$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Aire associée à l'évènement souhaité}}{\text{Aire totale}}$

Essayons un calcul ensemble : quelle est la probabilité qu'une flèche s'apprêtant à toucher la cible rectangulaire tombe dans la zone verte?

1. On commence par calculer l'aire de l'évènement « vert ». L'aire d'un triangle est calculée avec la formule $A = (b \cdot h) \div 2$ :

$A = (14 \cdot 11) \div 2 = 154 \div 2 = 77$

2. On calcule ensuite l'aire totale du rectangle. L'aire d'un rectangle est calculée avec la formule $A = b \cdot h$ :

$A = 18 \cdot 11 = 198$

3. On calcule finalement la probabilité à l'aide de la formule donnée plus haut :

$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Aire associée à l'évènement souhaité}}{\text{Aire totale}} = \dfrac{77}{198}$

$\text{Probabilité} = 0,388 \text{ ou } 38,8\,\%$

7.3.3 – Les probabilités géométriques à trois dimensions

Comme vous vous en doutez sûrement, les probabilités géométriques à trois dimensions s'intéressent au volume. Encore une fois, ce sont des situations relativement simples à saisir.

On calcule la probabilité géométrique à trois dimensions ainsi :

$\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Volume associé à l'évènement souhaité}}{\text{Volume total}}$

Exercice

Calcule la probabilité géométrique à trois dimensions associée à la situation suivante :

Une colonie de bactéries sphérique s'est développée dans une canne de lentilles au sirop d'érable; elle touche maintenant les côtés de la canne. Si on mange une des lentilles au hasard à partir de la canne, quelle est la probabilité qu'elle soit infectée?

Corrige ta démarche auprès de ton enseignant.

Les exercices liés à cette section sont disponibles dans le manuel Vision Vol. 2, p. 206, # 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 17.

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P.-S. — Tu as maintenant terminé la théorie du cours de mathématiques de secondaire 3!!! Félicitations!