Section 7.2 – Probabilité fréquentielle

Alors que bien des problèmes de probabilités traitent de situations où toutes les possibilités ont des chances égales de survenir (Ex : « Pile » ou « Face » sur une pièce de monnaie), il en existe bien d'autres où les chances varient énormément entre les différents résultats possibles. Il est facile de concevoir que la probabilité qu'une canne de conserve tombe sur son côté est plus grande que la probabilité qu'elle tombe sur l'un de ses bouts. Même s'il n'y a que deux options, on saisit que chacune des options n'a pas 50 % de probabilité.

Pour découvrir la probabilité de ces évènements « incalculables », on pourra calculer la probabilité fréquentielle.

7.2.1 – Probabilité théorique vs. probabilité fréquentielle

Comme nous l'avons vu dans la section 7.0, la probabilité théorique se calcule lorsqu'on peut connaître l'univers des possibles et que toutes les possibilités ont des chances égales de se produire (évènements équiprobables).

Dans une situation où les évènements ne sont pas équiprobables, on ne peut pas calculer la probabilité à l'aide de la même formule. Par exemple, si on essayait de calculer la probabilité qu'une canne de conserve retombe sur sa face du dessous ou du dessus à l'aide de la formule théorique, on aurait :

univers des possibles $= \{\text{dessous}, \text{côté}, \text{dessus}\}$

résultats souhaités $=$ dessous ou dessus

$P = \dfrac{2}{3} \cdot 100$

$P = 66,66\,\%$

Avec votre expérience de vie, vous savez très bien qu'il n'y a pas 67 % de chance qu'une canne retombe sur un de ses deux bouts. On remarque donc que la formule théorique a ses limites. Pour pallier à ce problème, on utilisera plutôt la probabilité fréquentielle.

La probabilité fréquentielle est la probabilité calculée à l'aide des données d'une expérimentation composée de plusieurs répétitions. La probabilité fréquentielle :

• est un nombre compris entre 0 et 1 ou entre 0 et 100 % (exactement comme la probabilité théorique);
• est déterminée à l'aide d'une expérimentation;
• est plus précise lorsque le nombre de répétitions de l'expérimentation est grand.

Par rapport au nombre de répétitions de l'expérience, on pourrait même dire que lorsque le nombre d'expérimentations tend vers l'infini, la probabilité fréquentielle devient la probabilité théorique.

7.2.2 – Le calcul de la probabilité fréquentielle

Le calcul de la probabilité fréquentielle est très simple et s'apparente beaucoup au calcul théorique :

$\text{Probabilité fréquentielle} = \dfrac{\text{nombre de fois que le résultat souhaité s'est produit}}{\text{nombre de répétitions de l'expérimentation}}$

Essayons un exemple ensemble. Pour aider son maître, le chat sans nom de Marc-Antoine a délibérément fait tomber au sol les 12 cannes de conserve que Marc-Antoine avait rapportées de l'épicerie. En entendant le vacarme de la cuisine, Marc-Antoine réalise que les cannes au sol sont dans ces positions :

Côté – Dessus – Côté – Côté – Côté – Dessous – Côté – Côté – Dessus – Côté – Côté – Côté

1. On détermine le nombre de fois que le résultat attendu s'est produit. Ici, le résultat Dessous ou Dessus s'est produit 3 fois.
2. On applique la formule en comptant 12 répétitions à l'expérimentation (il y a 12 cannes au sol) :

$\text{Probabilité} = \dfrac{3}{12} \cdot 100$

$\text{Probabilité} = 0,25 \text{ ou } 25\,\%$

Avec cette expérience, on a donc déterminé que la probabilité fréquentielle qu'une canne de conserve tombe sur l'un de ses bouts est de 25 %.

Évidemment, la probabilité théorique d'une telle expérience pourrait être bien différente. Si l'expérience avait été réalisée avec 100 cannes, on aurait peut-être obtenu 21 % ou 27 %. Toutes ces réponses sont bonnes dans le contexte de l'expérimentation.

Exercice

Réalisez vous-même une expérience comme celle décrite précédemment à l'aide d'un objet à la forme étrange ou à l'aide d'une autre situation que vous imaginez. Répétez l'expérience 20 fois, notez vos résultats, puis calculez la probabilité fréquentielle qu'un évènement choisi se produise.

Attention : ne pas utiliser vos iPad et ordinateurs, svp!

Expliquez votre démarche, vos calculs et vos résultats à votre enseignant pour vérifier votre compréhension.

Les exercices liés à cette section se trouvent dans un document sur Classroom.