3.4 La résolution d'inéquations

Puisque vous êtes maintenant des experts de la résolution d'équations algébriques, nous pouvons nous permettre d'introduire une dernière nouveauté pour cette année. Alors que votre technique des « opérations inverses » restera parfaitement fonctionnelle, quelques particularités feront leur apparition pour les inéquations.

3.4.1 Les inéquations

Une inéquation est une opération mathématique qui fait intervenir un symbole d'inégalité ($<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$) et au moins une variable. Cette année, les inéquations ne comporteront qu'une seule variable.

Exemples : $3x + 4 > 13 \qquad 6 - 2a \leq 3a - 12$

Dans une inéquation, la valeur d'une variable n'est pas un nombre précis, mais bien un ensemble-solution.

Ensemble-solution : un ensemble-solution est un intervalle de nombres qui vérifie ou rend vraie une inéquation.

Un ensemble-solution peut être représenté de trois manières :

Un intervalle comportant un ensemble de nombres.

• Ex. : si $x \geq 6$, on dira que l'ensemble-solution est $[6, +\infty[$.
• Ex. : si $y < -1$, on dira que l'ensemble-solution est $]-\infty, -1[$.

Une droite numérique sur laquelle on a indiqué les valeurs que peut prendre la variable.

• Ex. : si $x \geq 6$ :
• Ex. : si $y < -1$ :

On peut aussi représenter un ensemble-solution en isolant simplement la variable.

• Ex. : $x \geq 6$ constitue une représentation valide de l'ensemble-solution.
• Ex. : $y < -1$ constitue une représentation valide de l'ensemble-solution.

3.4.2 Les règles de transformation des inéquations

Comme mentionné plus haut, la « technique des opérations inverses » restera valide pour la majorité des opérations sur les inéquations. La différence majeure à prendre en compte lorsque des manipulations algébriques sont faites sur des inéquations est le fait que, contrairement à un $=$, les deux côtés de l'inéquation ne valent pas la même chose.

Exemple : avec une égalité, $x = 6$ et $6 = x$ sont deux expressions parfaitement identiques, alors qu'avec une inégalité, $x < 6$ et $6 < x$ ne sont pas du tout équivalentes.

On remarque donc qu'il faut prêter une attention particulière à l'orientation du symbole d'inégalité. Pour y arriver, on doit tenir compte des trois principes suivants :

Règle de transformation des inéquations	Exemple
Effectuer une addition ou une soustraction aux deux côtés de l'inégalité ne modifie pas l'orientation de l'inéquation.	$3x - 4 < 2x + 2 \;\Rightarrow\; 3x < 2x + 6$
Effectuer une multiplication ou une division par un nombre positif aux deux côtés de l'inégalité ne modifie pas l'orientation de l'inéquation.	$2x \geq 16 \;\Rightarrow\; x \geq 8$
Effectuer une multiplication ou une division par un nombre négatif aux deux côtés de l'inégalité inverse l'orientation de l'inéquation.	$-3x > 12 \;\Rightarrow\; x < -4$

Mis à part la division ou la multiplication par un nombre négatif, il n'y a aucune différence entre la résolution d'équations et la résolution d'inéquations. C'est le seul concept auquel vous avez à faire attention.

3.4.3 La résolution d'une inéquation

Comme mentionné plus haut, il existe très peu de différences entre la résolution d'une inéquation algébrique et la résolution d'une équation algébrique. Il faut simplement porter attention à l'orientation du symbole d'inéquation et choisir la bonne façon d'exprimer la réponse.

Rappel — la signification des symboles d'inégalité :

• $w < 6$ veut dire « $w$ est plus petit que 6 », donc $w \in \,]-\infty, 6[$
• $x > 3$ veut dire « $x$ est plus grand que 3 », donc $x \in \,]3, +\infty[$
• $y \leq 5$ veut dire « $y$ est plus petit ou égal à 5 », donc $y \in \,]-\infty, 5]$
• $z \geq 4$ veut dire « $z$ est plus grand ou égal à 4 », donc $z \in [4, +\infty[$

Voici à quoi ressemble la démarche complète de résolution d'inéquations

Considérons l'inéquation suivante : $14x + 5 > 5x + 32$

1. Isoler la variable.

$14x + 5 - 32 > 5x + 32 - 32 \quad\Rightarrow\quad 14x - 27 > 5x \quad\Rightarrow\quad -27 > -9x$

⚠️ Attention ! On divise par un nombre négatif — le symbole de l'inéquation est donc inversé.

$-27 > -9x \quad\Rightarrow\quad 3 < x$

2. On représente la solution de la façon demandée. Ici, on pourrait représenter la solution de trois manières différentes :

   • a) $3 < x$ ou $x > 3$ (les deux formes sont équivalentes)
   • b) $]3, +\infty[$
   • c)

   Habituellement, les représentations a) et b) sont les plus utiles.

Exercice : résous l'inéquation suivante et corrige-toi avec la vidéo.

$-3(h + 5) \geq 8h + 4$

Les exercices associés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2, p. 109, # 1 à 5, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 18, 21.