3.2 Les systèmes d'équations et leur résolution non algébrique

Au chapitre 2, nous avons couvert l'ensemble des types de fonctions à voir en secondaire 3. Nous avons vu les trois types de fonctions suivantes :

Fonction linéaire de degré 0	Fonction linéaire de degré 1	Fonction de variation inverse
$y = b$	$y = ax + b$	$y = \dfrac{c}{x}$

Maintenant, l'objectif du chapitre 3 est de faire interagir ces fonctions. C'est là qu'arrivent les systèmes d'équations.

3.2.1 Les systèmes d'équations

Un système d'équations est un ensemble d'au moins deux équations existant dans un même contexte. C'est-à-dire qu'une certaine mise en situation implique plusieurs fonctions en même temps.

Exemple : les équations $y_1 = 3x + 4$ et $y_2 = -5x - 2$ forment un système d'équations.

Dans une table de valeurs, ce système d'équations ressemble à ceci :

x	-2	-1	0	1	2	3
$y_1$	-2	1	4	7	10	13
$y_2$	8	3	-2	-7	-12	-17

Dans un graphique, ce système d'équations ressemble à ceci :

Dans ce chapitre, nous apprendrons à analyser la relation entre ces deux fonctions.

3.2.2 La résolution d'un système d'équations

Résoudre un système d'équations du 1^er degré à deux variables revient à trouver, s'ils existent, le ou les couples qui vérifient simultanément les équations du système.

Équation du 1^er degré à deux variables : une équation du 1^er degré signifie une équation dont les variables sont du 1^er degré (donc portent l'exposant 1). Par exemple, la fonction $y = 3x + 2$ est du 1^er degré, alors que $y = 3x^2 + 2$ est du 2^e degré. Les équations à deux variables incluent les fonctions $y = ax + b$ et $y = c/x$ vues cette année. La fonction $y = b$ possède une seule variable.

Vérifier une équation : vérifier une équation signifie identifier un point (un couple de coordonnées) qui fait partie de la fonction.

Voici l'équation $y = 2x - 3$ :

On remarque que le point $(2,4)$ ne fait pas partie de la fonction ; on dira donc qu'il ne vérifie pas la fonction $y = 2x - 3$. Par contre, le point $(4,5)$ fait partie de la fonction ; on dira donc qu'il vérifie la fonction $y = 2x - 3$.

Pour résoudre un système d'équations, on doit donc trouver le ou les points qui vérifient en même temps toutes les fonctions du système. On peut y arriver par trois méthodes. Dans cette section, nous couvrirons les méthodes non algébriques.

Méthode #1 — Méthode graphique

Pour résoudre un système d'équations à l'aide d'un graphique, il suffit de placer les deux fonctions dans un graphique et de trouver la coordonnée où les deux fonctions se croisent.

Un système d'équations est formé des fonctions $y_1 = 2x - 4$ et $y_2 = -x + 5$.

1. Tracer les deux fonctions dans un graphique.

2. Identifier l'endroit où les deux fonctions se rencontrent (le point qui vérifie simultanément les deux fonctions).

3. Identifier les coordonnées du point de rencontre.

La solution du système d'équations est donc $(3, 2)$.

Méthode #2 — Table de valeurs

Plutôt que d'avoir à tracer un graphique complet, on peut aussi recourir à une table de valeurs pour trouver la solution d'un système d'équations.

Reprenons le système d'équations formé des fonctions $y_1 = 2x - 4$ et $y_2 = -x + 5$.

1. Remplir une table de valeurs à double entrée avec les deux fonctions.

$x_1$	-1	0	1	2	3	4	5
$y_1$	-6	-4	-2	0	2	4	6
$y_2$	6	5	4	3	2	1	0

2. Identifier une valeur de $x$ pour laquelle les deux fonctions ont la même valeur de $y$. Ici, à $x = 3$, les deux fonctions valent $y = 2$. Cette valeur de $x$ et cette valeur de $y$ représentent la solution du système d'équations : $(3, 2)$.

Les méthodes non algébriques sont simples, mais elles ont évidemment leurs limites. En effet, lorsque les coordonnées de la solution du système ne sont pas des nombres entiers, il devient pratiquement impossible de déterminer leurs valeurs exactes. C'est donc à ce moment qu'il deviendra important d'employer les méthodes algébriques (section 3.3).

3.2.3 Les particularités des fonctions dans un système d'équations

En apprenant à reconnaître les différentes particularités des fonctions qui forment un système d'équations, on peut s'éviter bien des démarches supplémentaires pour trouver la solution d'un système.

$y_1 = a_1x + b_1$ ; $y_2 = a_2x + b_2$	Nombre de solutions	Exemple
$a_1 = a_2$ ; $b_1 \neq b_2$	Aucune solution	$y_1 = 2x + 2$ ; $y_2 = 2x - 1$
$a_1 \neq a_2$	Une solution	$y_1 = x + 2$ ; $y_2 = 2x - 1$
$a_1 = a_2$ ; $b_1 = b_2$	Une infinité de solutions	$y_1 = 2x + 2$ ; $y_2 = 2x + 2$

Exercice : détermine graphiquement ET à l'aide d'une table de valeurs la solution du système d'équations suivant.

$y_1 = 1{,}5x + 1{,}5 \qquad y_2 = 3x - 6$

📺 Vidéo 3.2 – 1

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2, p. 137, # 1 à 6, 9, 11, 13, 14.