3.3 La résolution algébrique de systèmes d'équations ★ Cours Top 5

Comme discuté dans la section 3.2, la méthode graphique et la méthode de la table de valeurs ont leurs limites pour résoudre des systèmes d'équations. Pour pallier ces problèmes, il est souvent plus efficace de recourir aux méthodes algébriques pour résoudre ces systèmes.

Comme nous l'avons vu en 2^e secondaire, il est possible de déterminer la valeur d'un inconnu dans une expression algébrique à l'aide de la technique des opérations inverses. Pour cette technique, on cherche à isoler la variable d'une expression algébrique pour découvrir sa valeur.

Exemple : quelle est la valeur de $x$?

$3x + 16 = 5x - 2$

$3x + 16 - 2 = 5x - 2 - 2 \quad\Rightarrow\quad 3x + 18 = 5x \quad\Rightarrow\quad 18 = 2x \quad\Rightarrow\quad 9 = x$

La méthode des opérations inverses utilisée pour isoler une variable et déterminer sa valeur vous est bien familière. La nouveauté avec les systèmes d'équations est l'obligation de travailler avec deux inconnues au même moment. En effet, lorsqu'on cherche à déterminer la solution d'un système d'équations (c'est-à-dire déterminer les coordonnées de leur point de rencontre), nous ne connaissons ni la valeur de $y$, ni celle de $x$. Comme je vous l'ai mentionné à plusieurs reprises, même Einstein ne pourrait résoudre une expression algébrique à deux variables — il faut donc contourner le problème. Pour y arriver, nous verrons deux techniques différentes, et vous aurez le luxe de choisir celle qui vous plaît le plus.

L'objectif de ces deux techniques est le même : faire disparaître l'une des variables pour obtenir une expression algébrique à une seule inconnue.

📺 Vidéo 3.3 – 1 (expliquer le problème des deux variables)

3.3.1 La méthode de la comparaison

La méthode de la comparaison est de loin la plus simple et la plus souvent utilisable. Vous choisirez probablement celle-ci dans la majorité des situations. Comme mentionné plus tôt, l'objectif de cette technique est d'éliminer une variable. Avec la méthode de la comparaison, ce sera toujours la variable $y$ qui sera éliminée.

Comme son nom le dit, l'objectif de cette technique est de comparer les deux équations du système d'équations. Pour pouvoir comparer deux fonctions, il faut avoir un point de comparaison ; nous utiliserons la variable $y$. Pour mieux visualiser la technique, imaginons le scénario suivant :

À l'animalerie, la liste de prix suivante est affichée :

• 12 $ = 3 poissons rouges
• 12 $ = 2 poissons bêtas

Puisque 3 poissons rouges OU 2 poissons bêtas valent 12 $, on peut écrire l'équation suivante : 3 poissons rouges = 2 poissons bêtas. Nous utiliserons les mêmes principes pour comparer deux fonctions.

Voici comment utiliser la méthode de la comparaison

Considérons le système d'équations suivant : $y = 2{,}5x - 2$ et $y = x + 7{,}8$.

1. Éliminer le $y$ en comparant les deux équations. Puisque les deux fonctions du système sont égales à $y$, on peut dire que les deux parties $ax+b$ des fonctions sont égales.

$2{,}5x - 2 = y = x + 7{,}8 \quad\Rightarrow\quad 2{,}5x - 2 = x + 7{,}8$

2. Isoler la variable $x$ pour déterminer sa valeur. Puisque notre équation ne contient plus qu'une seule variable, il est maintenant possible de l'isoler.

$2{,}5x - 2 = x + 7{,}8 \quad\Rightarrow\quad 2{,}5x = x + 9{,}8 \quad\Rightarrow\quad 1{,}5x = 9{,}8 \quad\Rightarrow\quad x = 6{,}53$

3. Déterminer la valeur de $y$ en plaçant la valeur de $x$ dans l'une des équations de départ.

$y = x + 7{,}8 \quad \text{où} \quad x = 6{,}53 \quad\Rightarrow\quad y = 6{,}53 + 7{,}8 = 14{,}33$

4. Déterminer la solution du système d'équations. On a déterminé que $x = 6{,}53$ et $y = 14{,}33$. Donc la solution du système est $(6{,}53\,,\,14{,}33)$.

Tente de déterminer la solution du système suivant avec la méthode de la comparaison et vérifie ta réponse par la suite.

$y = 4x - 13 \qquad y = 1{,}75x - 2$

📺 Vidéo 3.3 – 2

3.3.2 La méthode de la substitution

La méthode de la substitution est basée sur le même principe que la méthode de la comparaison : on cherche à éliminer une des variables. La grande différence de cette méthode est son cadre d'application. Lorsque les deux équations d'un système sont dans leur forme $y = ax + b$, la méthode de la comparaison est idéale. Par contre, lorsque l'une des fonctions est dans une autre forme, il peut être judicieux d'utiliser la méthode de la substitution.

Voici comment utiliser la méthode de la substitution

Considérons les deux fonctions suivantes : $y = 2{,}4x + 1$ et $2y - 4x = 7$.

1. Dans la méthode de la substitution, on substitue (échange ou remplace) une variable par ce qu'elle vaut. En regardant la fonction $y = 2{,}4x + 1$, on comprend que $y$ vaut $2{,}4x + 1$. Dans la deuxième équation, on ira donc substituer $y$ par $2{,}4x + 1$ :

$2y - 4x = 7 \quad\longrightarrow\quad 2(2{,}4x + 1) - 4x = 7$

2. Résoudre l'équation algébrique en isolant la variable $x$.

$2(2{,}4x + 1) - 4x = 7 \quad\Rightarrow\quad (4{,}8x + 2) - 4x = 7 \quad\Rightarrow\quad 4{,}8x + 2 - 4x = 7$

$0{,}8x + 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad 0{,}8x = 5 \quad\Rightarrow\quad x = 6{,}25$

3. Déterminer la valeur de $y$ en plaçant la valeur de $x$ dans l'une des équations de départ.

$y = 2{,}4x + 1 \quad \text{où} \quad x = 6{,}25 \quad\Rightarrow\quad y = 2{,}4(6{,}25) + 1 = 15 + 1 = 16$

4. Déterminer la solution du système d'équations. On a déterminé que $x = 6{,}25$ et $y = 16$. Donc la solution du système est $(6{,}25\,,\,16)$.

Exercice : détermine la solution du système d'équations suivant en utilisant la méthode de substitution.

$y = 3x + 2 \qquad -x + 2y - 2 = 0$

📺 Vidéo 3.3 – 3

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 2, p. 146, # 2 à 5, 7a, 10 à 13, 15.