2.5 La modélisation de fonctions mathématiques

Plusieurs situations faisant intervenir deux variables se traduisent parfaitement par une fonction linéaire ou inverse. Toutefois, il existe bien d'autres situations où les données ne sont pas parfaitement corrélées.

Corrélation : l'intensité de la relation entre deux variables. Une corrélation parfaite se traduit par une situation proportionnelle.

Pour mieux comprendre ce qu'est la corrélation, voici deux graphiques de la même situation. Dans cette situation, le résultat à l'examen dépend du nombre d'heures d'étude. Le graphique 1 représente une corrélation parfaite, alors que le graphique 2 représente une corrélation imparfaite.

En comparant les deux graphiques, on remarque qu'il serait possible de tracer une droite qui rejoint tous les points dans le graphique 1, alors que ce n'est pas le cas dans le graphique 2. On peut tout de même comprendre qu'il existe un lien entre le nombre d'heures d'étude et le résultat à l'examen dans le graphique 2. Pour utiliser un modèle mathématique connu sur le graphique 2, il faudra donc modéliser les données pour les adapter à un modèle connu, soit une fonction linéaire ou une fonction de variation inverse.

Modélisation : application d'un modèle mathématique qui permet d'analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats à partir de cette application.

2.5.1 Modélisation à l'aide de la fonction linéaire de degré 0 ou 1

Ex. : des biologistes tentent de montrer le lien qui existe entre l'envergure d'aile d'un oiseau et son poids. Voici les résultats qu'ils ont obtenus sur le terrain.

Envergure (cm)	22	41	36	29	38	31	27	34
Poids (g)	13	21	17	16	22	15	13	19

Pour modéliser un ensemble de points à l'aide d'une fonction linéaire, il suffit de suivre cette démarche :

1. Placer les points connus dans un graphique.
2. Déterminer, selon l'allure générale de la disposition des points, si la situation ressemble à une fonction linéaire. Dans notre cas, il existe assez clairement une corrélation entre les deux variables qui correspond à une fonction linéaire.
3. À l'aide d'une règle, tracer la « meilleure droite possible » pour tenter de partager le nuage de points équitablement d'un côté à l'autre de la droite.

4. Identifier deux points facilement lisibles et idéalement les plus éloignés l'un de l'autre possible. Le fait de choisir deux points éloignés augmentera la précision de votre modélisation. Ici, les deux points choisis seront $(0\,,\,12{,}5)$ et $(37\,,\,20)$.

5. Déterminer la règle de la fonction en utilisant les techniques apprises dans la section 2.3 (détermination du $a$ et du $b$) :

$a = \dfrac{20 - 12{,}5}{37 - 0} = \dfrac{7{,}5}{37} = 0{,}2$

Détermination de la valeur initiale ($b$) avec le point $(37, 20)$ :

$y = 0{,}2x + b \quad\Rightarrow\quad 20 = 0{,}2 \cdot 37 + b \quad\Rightarrow\quad 20 = 7{,}4 + b \quad\Rightarrow\quad 12{,}6 = b$

La fonction correspondant à la « meilleure droite possible » est donc $y = 0{,}2x + 12{,}6$.

2.5.2 Modélisation à l'aide de la fonction de variation inverse

Tout comme avec les fonctions linéaires, un ensemble de données adéquat peut être modélisé avec une fonction de variation inverse. Toutefois, la technique est légèrement différente.

Pour modéliser un ensemble de points à l'aide d'une fonction de variation inverse, il faut :

1. Placer tous les points d'un nuage de points dans une table de valeurs.

2. Déterminer le produit de chaque couple de données de la table de valeurs.

x	y	$x \cdot y$
5	242	1210
10	136	1360
15	80	1200
20	70	1400
25	46	1150
30	44	1320
35	32	1120
40	26	1040

3. Effectuer la moyenne des nombres obtenus à l'étape précédente.

$\text{Moyenne} = \dfrac{1210+1360+1200+1400+1150+1320+1120+1040}{8} = 1225$

4. Placer cette valeur moyenne à la place du $c$ dans la règle de la fonction :

$y = \dfrac{c}{x} \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{1225}{x}$

5. Au besoin, tracer la fonction obtenue dans le graphique.

Exercice : modélise le nuage de points suivant.

📺 Vidéo 2.5 – 1

Exercices Vision Vol. 1 :

• p. 92, # 4, 14, 16
• p. 198, # 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14