2.2 Les propriétés des fonctions

Lorsqu'une relation mathématique produit un ensemble de données (comme présenté dans la section 2.1), l'ensemble des couples $x$ et $y$ (les points sur un graphique) forme ce qu'on appelle une fonction mathématique.

Fonction mathématique : relation mathématique qui lie un ensemble de variables ($x$) à un ensemble de données dépendantes (image) ($y$).

Par exemple, le salaire de Julie transforme ses heures de travail (variable indépendante) en un salaire qui dépend directement des heures travaillées (variable dépendante).

Pour identifier la variable dépendante ($y$) de la variable indépendante ($x$), un bon truc est d'utiliser la phrase suivante : (y) dépend de (x).

Exemples :

• Le salaire de Julie dépend de son nombre d'heures travaillées.
• La température du poulet dépend du temps passé au four.
• Le temps pour faire le marathon dépend de la vitesse du coureur.

Dans tous les cas, il est possible de tracer un graphique pour n'importe quelle fonction mathématique. Ces graphiques peuvent être uniformes ou complètement désordonnés.

La seule règle pour déterminer si une fonction est possible ou non est qu'il ne doit pas y avoir plus d'une valeur de $y$ pour une même valeur de $x$. Cela se manifeste soit dans une table de valeurs, soit dans un graphique.

Pour décrire une fonction (principalement son graphique), plusieurs propriétés sont utilisées :

Propriété	Description
Domaine	C'est l'ensemble des valeurs de $x$ présentes dans la fonction
Codomaine (ou Image)	C'est l'ensemble des valeurs de $y$ présentes dans la fonction
Variation croissante	Par rapport aux valeurs de $x$, c'est le ou les intervalles pendant lesquels la fonction est en croissance (monte)
Variation décroissante	Par rapport aux valeurs de $x$, c'est le ou les intervalles pendant lesquels la fonction est en décroissance (descend)
Variation constante	Par rapport aux valeurs de $x$, c'est le ou les intervalles pendant lesquels la fonction est stable (plate)
Maximum	C'est la plus grande valeur de $y$ qu'atteint la fonction
Minimum	C'est la plus petite valeur de $y$ qu'atteint la fonction
Signe positif	Par rapport aux valeurs de $x$, c'est le ou les intervalles pendant lesquels la fonction est positive (au-dessus de l'axe des $x$)
Signe négatif	Par rapport aux valeurs de $x$, c'est le ou les intervalles pendant lesquels la fonction est négative (en dessous de l'axe des $x$)
Zéro(s) de la fonction	C'est l'ensemble des valeurs de $x$ où $y = 0$
Valeur initiale	C'est la valeur de $y$ lorsque $x = 0$

Puisque plusieurs de ces propriétés sont décrites par des ensembles de nombres, on utilise les crochets [ ] pour indiquer le début et la fin d'un ensemble de nombres.

• L'ensemble $[2\,,\,4]$ veut dire que la situation se produit de la valeur 2 à 4, où ces deux nombres sont inclus.
• L'ensemble $]2\,,\,4[$ veut dire que la situation se produit de la valeur 2 à 4, où ces deux nombres sont exclus. Cela veut dire qu'en réalité, la situation se produit de $2{,}00000000000000001$ à $3{,}9999999999999999999\ldots$

Lorsqu'une propriété est présente dans plus d'un intervalle, on utilise le symbole $\cup$ pour indiquer l'union des intervalles.

Voici un exemple d'une fonction et de la description de ses propriétés.

Propriété	Description
Domaine	$]-7\,,\,8]$
Codomaine (ou Image)	$[-4\,,\,8]$
Variation croissante	$]-7\,,\,-1] \cup [5\,,\,8]$
Variation décroissante	$[-1\,,\,3]$
Variation constante	$[3\,,\,5]$
Maximum	8
Minimum	-4
Signe positif	$[-5\,,\,1] \cup [6\,,\,8]$
Signe négatif	$]-7\,,\,-5] \cup [1\,,\,6]$
Zéro(s) de la fonction	-5, 1, 6
Valeur initiale	2

Les exercices liés à cette section se trouvent dans le manuel Vision Vol. 1 :

• p. 69 à 74, # 1 à 17 (excluant les numéros 10, 11, 13 et 15)
• p. 80 à 85, # 1 à 3, 6 à 8, 13, 15 et 17